Nombres complexes qcm

[Julie]

Bonjour,
Je suis en train de refaire un exercice d'un de mes contrôles et je bloque à une question.
Voici l'énoncé: Soit n un entier naturel. Le complexe (\(\sqrt{3}\) +i) est un imaginaire pur, si et seulement si:

a) n=3
b) n=6k+3
c) n=6k

avec k relatif

- j'ai déduit que la partie réelle était nulle

- j'ai mis l'expression sous la forme trigonométrique:

\(2^{n}\)(ncos(pi/6)+nisin(pi/6)
donc il faut que \(2^{n}\)X ncos(pi/6) = 0

=>Je suis bloquée à ce niveau est ce que vous pourriez m'aider s'il vous plait ? je ne sais pas comment résoudre cette équation sachant que la réponse qui m'est indiquée comme exact est la b) et je ne comprend d'où vient le k.

En vous remerciant par avance.

Julie

[SoS-Math(33)]

Bonjour Julie,
il manque quelque chose dans ton énoncé car le nombre complexe que tu donnes est indépendant de n.

[Julie]

Oui exact j'ai oublié puissance n à
(Racine3 +i)
Vola je pense que c'est plus cohérent

[SoS-Math(31)]

Bonjour Julie
Attention, (cos(\(\Theta\)) + sin(\(\Theta\))\(^{n}\) = (cos(n\(\Theta\)) + sin(n\(\Theta\))
donc la partie réelle est 2\(^{n}\) cos(npi/6) = 0
d'où cos(npi/6) = cos(pi/2). Il faut alors résoudre l'équation trigonométrique. Bonne continuation.

[Julie]

Bonsoir,
Je ne comprend pas comment on déduit de cette forme 2n cos(npi/6) = 0 celle ci: cos(npi/6) = cos(pi/2).
Puis, j'ai essayer de résoudre l'équation trigonométrique cos(npi/6)=cos(pi/2)
J'ai trouvé n=3 mais la correction de mon contrôle m'indique n=6k+3. Est ce que vous pourriez m'expliquer comment résoudre cette équation trigonométrique s'il vous plait.

En vous remerciant par avance

[SoS-Math(33)]

Bonsoir,
quand tu as \(2^n\) cos(npi/6) = 0, comme\(2^n\) ne peut pas être nul donc seulement cos(npi/6) peut être nul d'où cos(npi/6)=0
Ensuite tu sais que 0= cos(pi/2) ou 0=cos(-pi/2) d'où cos(npi/6) = 0 te donne npi/6=pi/2 +kpi et donc n = (6/pi)(pi/2 + kpi) = 3 + 6k.