Factorisation

[Baptiste TS]

Bonjour,

J'ai une question concernant une annales voici l'énoncé :
Pour tout Z complexe :

P(z) = z^4 - 6z^3 + 14z^2 - 6z + 13

Montrer que :

P(z) = (z^2+1)Q(z)

Où Q(z) s'écrit sous la forme z^2 + cz + d

Trouver c et d.

J'ai bien compris qu'il fallait factoriser par z^2 + 1

Mais je ne sais pas faire, j'ai seulement factoriser par z^2 :

z^2 (z^2 - 6z + 14) -6z +13

Merci d'avance pour votre aide

[SoS-Math(33)]

Bonsoir Baptiste,
une solution est d'utiliser la division de polynômes , as tu vu ça en cours?
sinon tu cherches par quoi multiplier (z² + 1) pour retrouver P(z) mais en faisant une étape par degré de z et en enlevant à chaque fois ce que tu as en trop, as tu déjà vu cette méthode?

[Baptiste TS]

Bonjour

Merci de votre réponse,

Non je n'ai rien vu de tout ça en cours...

Cordialement

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
autre solution puisque l'on te donne la forme de \(Q(z)\) qui est \(z^2 + cz + d\)
si tu développes \((z^2 + 1)(z^2 +cz + d)\) tu obtiens \(z^4 + cz^3 + (d+1)z^2 + cz + d\)
ensuite tu compares avec \(P(z)\)
et tu obtiens des conditions pour trouver \(c\) et \(d\)
Je te laisse terminer les calculs.

[Baptiste TS]

Ah ouiii !

Super merci beaucoup