arithmétique

[terminale S]

Bonjour,

Je m'entraîne pour mon contrôle de mathématiques et j'ai trouvé un exercice (voir pièce jointe) sur Internet que je n'arrive pas à faire.

J'ai compris ce qu'était une primorielle mais je n'arrive pas à répondre aux questions...

Merci d'avance pour votre aide, j'en ai besoin.

[SoS-Math(31)]

Bonjour,
Peux tu donner ton prénom. Merci.
Si pk divise N, pourquoi pk divise (N - produit des pi) ?
Mais 1 = N - produit pi. Conclure.

[Bertrand]

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre réponse mais je ne l'ai pas comprise...

Donc il faut conclure que ce n'est pas possible ?

Merci.

[SoS-Math(31)]

Pk fait partie des "Pi" (C'est l'un des premiers Pi) donc il divise le produit des pi donc si pk divise N, il divise N - produit des pi ainsi, il diviserait 1. Or aucun premier ne divise 1.
Effectivement ce n'est pas possible Pk ne divise pas N.
J'espère qu'ainsi tu as compris.

[Bertrand]

Mais ici que représente pi, je ne le vois nulle part dans l'énoncé...

Merci.

[SoS-Math(31)]

Oui, dans ton énoncé on fait le produit des pk (et non pi) avec k = 1 à n . J'ai voulu différencier l'indice de la somme ( en les appelant pi et non pk) et le rang du nombre premier choisi pour tester si pk divise N.
La démonstration est vraie pour n'importe quel k de 1 à n.

[Bertrand]

OK. Merci beaucoup. J'ai compris. Mais que faire pour la deuxième question ? Je ne sais pas ce que l'on peut en déduire...

Merci d'avance.

[Bertrand]

Et je pense que j'ai compris, mais je n'arrive pas à répondre à votre question : Si pk divise N, pourquoi pk divise (N - produit des pi) ?

Comment faire ? Merci.

[SoS-Math(31)]

Pour la question 2)
Si N <p\(_{n+1}\) mais N > pn d'après sa définition avec N \(\geq 2\).
N ne peut donc pas être premier d'après la définition de P alors il doit être divisible par un premier plus petit à lui imposible d'après 1)

[SoS-Math(31)]

Désolé, nos messages se sont croisés.
Pk divise le produit P1 P2 ...Pk ... Pn
Si pk divise N ce produit

[SoS-Math(31)]

Par exemple : Si n = 3 alors N = P1 P2 P3 - 1.
Si P1 divise N alors comme P1 divise le produit P1P2P3 il divise N - P1P2P3.