Bonsoir,
J'ai un problème avec cette question
a= 3^(2n+1)+2^(n+2)
démontrer que a congru 0 [7]
les puissances me perturbent, je ne sais pas comment m'y prendre
Merci d'avance.
Congruence
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Alex
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sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Congruence
Bonjour,
on peut décomposer : \(3^{2n+1}=3\times (3^2)^{n}\) et \(2^{n+2}=2^2\times 2^n=4\times 2^n\)
tu peux partir de \(3^2\equiv 2\mod{7}\) élever à la puissance \(n\) : \((3^2)^{n}\equiv \ldots\mod{7}\) puis \(3\times (3^2)^{n}\equiv \ldots\mod{7}\)
Je te laisse continuer les congruences pour obtenir \(a=3^{2n+1}+2^{n+2}=3\times (3^2)^{n}+2^2\times 2^n\)
Bon courage
on peut décomposer : \(3^{2n+1}=3\times (3^2)^{n}\) et \(2^{n+2}=2^2\times 2^n=4\times 2^n\)
tu peux partir de \(3^2\equiv 2\mod{7}\) élever à la puissance \(n\) : \((3^2)^{n}\equiv \ldots\mod{7}\) puis \(3\times (3^2)^{n}\equiv \ldots\mod{7}\)
Je te laisse continuer les congruences pour obtenir \(a=3^{2n+1}+2^{n+2}=3\times (3^2)^{n}+2^2\times 2^n\)
Bon courage
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Alex
Re: Congruence
Bonjour,
J'obtiens:
3^(2n+1) = (3^2)^n x 3
2^(n+2) = 2^n x 2^2 = 2^n x 4
3^2 congru 2 mod 7 donc (3^2)^n congru 2^n mod 7
3 congru 3 mod 7
2 congru 2 mod 7 donc 2^n congru 2^n mod 7
4 congru 4 mod 7
Mais je ne sais pas quoi faire après
J'obtiens:
3^(2n+1) = (3^2)^n x 3
2^(n+2) = 2^n x 2^2 = 2^n x 4
3^2 congru 2 mod 7 donc (3^2)^n congru 2^n mod 7
3 congru 3 mod 7
2 congru 2 mod 7 donc 2^n congru 2^n mod 7
4 congru 4 mod 7
Mais je ne sais pas quoi faire après
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SoS-Math(31)
- Messages : 1360
- Enregistré le : lun. 12 oct. 2015 10:33
Re: Congruence
C'est bien Alex : 3\(^{2n}\equiv 2^{n} (7)\)donc 3\([tex]\)^{2n+1}\equiv 3*2^{n} (7)
et 2\([tex]\)^{n+2}\equiv 4*2^{n} (7)
Alors la somme \(3^{2n+1}+2^{n+2}\equiv 2^{n}*[3+4] (7) \equiv 2^{n}*7 (7) \equiv 0 (7)\)
et 2\([tex]\)^{n+2}\equiv 4*2^{n} (7)
Alors la somme \(3^{2n+1}+2^{n+2}\equiv 2^{n}*[3+4] (7) \equiv 2^{n}*7 (7) \equiv 0 (7)\)