limite des fonction et dérivés

[amélie]

Bonjour j'ai un exercice dans le chapitre des dérives et je ne parvient pas a répondre à la dernière question !

Voici l'exercice :

On a 2 suites definies sur N*, Un=sin(1/n²)+sin(2/n²)+...+sin(n/n²) et Vn=(1/n²)+(2/n²)+...+(n/n²)

1) Montrer que Vn converge vers 1/2 ?

2)A l'aide de l'etude des variations de u(x)= x - sin x
v(x)= -1 + (x²/2) + cos x
w(x)= -x + (x^3/6) +sin x
Déduire pour tout x >ou= 0 que u(x) >ou= 0

3)a) Justifier que pour tout n E N* 1^3 + 2^3 + ... + n^3 <ou= n^4

b)déduire de 2) et 3)a) que Vn - (1/6)*(1/n²) <ou= Un <ou= n^4

Voilà j'ai réussi à répondre à toutes les questions sauf la toute dernière -- Comment deduire cette inégalité : Vn - (1/6)*(1/n²) <ou= Un <ou= n^4

Merci....

[SoS-Math(31)]

Bonjour Amélie,
Je suppose qu'à la question 2, tu as montré que w(x) > ou = 0 pour tout x > = 0.
Alors sin(x) \(\geq\) x - \(\frac{(x)^3}{(6)}\)
donc sin(\(\frac{k}{n²}\)) \(\geq\)\(\frac{k}{n²}\) - \(\frac{(\frac{k}{n²})^3}{(6)}\)

[amélie]

Bonjour...et merci pour votre réponse...mais enfaite je ne comprend pas tout à fait se que vous avez fait...pouvez vous m'expliquer d'avantage s.v.p Merci

[SoS-Math(31)]

Bonjour Amélie,
Dans la question 2 : Tu as montré
w(x) = - x +\(\frac{x^3}{6}\) + sin(x) \(\geq\)0 donc sin(x) \(\geq\)x - \(\frac{x^3}{6}\)
Je remplace ensuite x par \(\frac{k}{n²}\) avec k qui prend la valeur 1 ou 2 ...n.
As toi de continuer en effectuant la somme pour tout ces k et en utilisant la question 3)