Suites

[Sophie]

Bonjour,

J'ai un exercice, et je ne sais pas comment expliquer ce que je trouve, mis à part calculer à l'aide de la calculatrice.


Cet exercice concerne le nombre de déchets produits par une famille de quatre en un anU0Chaque année une personne produit 20kg de déchets. U0= 80 et cela correspond au nombre de déchets produits par cette famille en 2011. Chaque année cette quantité de déchets augmente de 4%.

Suite aux premières questions, on a défini ( un)= 80 x 1.04 ^n

On a aussi définir la somme des termes consécutifs de (un) = 80 x[ (1-1,04^n)/ (-0,04)].

Ensuite, on me demande de déterminer en quelle année le nombre total de déchets cumulés dépassera deux tonnes à l'aide du tableur.

Je trouve donc qu'au bout de 18 ans le nombre total de déchets cumulés dépassera deux tonne, soit en 2029.

J'ai voulu essayer de démonter ce résultat par le calcul, car avec la méthode précédente, je n'explique pas vraiment mon raisonnement.

J'ai donc posé l'inequation : 80 x[ (1-1,04^(n+1))/ (-0,04)] > 2000


[ (1-1,04^(n+1))/ (-0,04)] > 25

-1,04^(n+1). < -2

1,04 ^(n+1) > 2

1,04^n x 1,04 >2

1,04^n > 2 / 1,04

N > 1,87 et n étant un entier car c'est un nombre d'années n >2 ...
Or, cela ne correspond pas à ce que j'ai trouvé avec l'autre méthode ...

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? Qu'ai-je fait de faux ? Mon raisonnement est-il correct ?


Merci de votre aide !

[SoS-Math(30)]

Bonjour Sophie,

Ta résolution est correcte. C'est ta dernière étape quand tu trouves n, tu as dû te tromper à la calculatrice. Si tu as vu la fonction logarithme neperien tu peux résoudre entièrement par le calcul. Sinon tu dois utiliser la calculatrice une fois que tu as l inequation \(\left ( 1,04 \right )^{n}>\frac{2}{1,04}\).

SoSMath

[Sophie]

Bonjour, merci de votre réponse !

Non je n'ai vu que le logarithme décimal.

Avec cette inéquation, je trouve 16 avec la calculatrice... Ce qui ne correspond pas à ce que j'avais trouve avant... Est-ce normal ?

Merci de votre aide !

[Sophie]

Finalement, je me suis trompée,

Je trouve n=17 avec la première méthode, et avec la seconde aussi.

Il me semble que cela est cohérent.
Donc ce sera en 2028, que la quantité de déchets cumulés dépassera deux tonnes.

[SoS-Math(31)]

Très bien Sophie