Problème de réccurence

[Louis]

Bonjour à tous,
J'ai un exercice où je dois résonner par récurrence mais je suis bloqué (d'où mon poste).
Voici l'énoncé de l'exercice :
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 4 on a : 2[sup]n[/sup] > 3n +1
2) En déduire la limite de (2n-n) quand n tend vers + l'infini.

Voici où j'en suis :
On note Pn la propriété "2^n >3n +1"

Initialisation :
2^4 > 3*4+1 <=> 16 > 13. Donc P4 est vraie.

Hérédité :
Soit k € N, on suppose que Pk est vrai c'est à dire :
2^k > 3k+1

Voilà où j'en suis, j'aimerais avoir votre aide ainsi qu'obtenir votre avis sur ma rédaction.
Je vous remercie par avance pour votre aide :)

[sos-math(21)]

Bonsoir,
ta rédaction est correcte, il faut poursuivre.
Pour l'hérédité,
tu pars de \(2^{k+1}=2\times 2^k\) or \(2^k\geq 3k+1\) (hypothèse de récurrence) donc \(2\times 2^k\geq...\).
Je te laisse poursuivre

[Invité]

Bonsoir,
ta rédaction est correcte, il faut poursuivre.
Pour l'hérédité,
tu pars de \(2^{k+1}=2\times 2^k\) or \(2^k\geq 3k+1\) (hypothèse de récurrence) donc \(2\times 2^k\geq...\).
Je te laisse poursuivre

2^k+1 = 2 X 2^k or 2^k > 3k+1
Donc 2*2^k > 2(3k+1)
Doù 2^k+1 > 3(k+1)+1 ?

Merci pour votre aide ! :)

[SoS-Math(9)]

Bonjour Louis,

c'est bien, mais il faut quand même justifier que 6k + 2 > 3(k+1)+1 = 3k+4 ...

SoSMath.

[Louis]

Bonjour Louis,

c'est bien, mais il faut quand même justifier que 6k + 2 > 3(k+1)+1 = 3k+4 ...

SoSMath.

Je reprends :

2^n > 3n+12
2 X 2^n > 2(3n+1)
2^n+1 > 2(3n+1)

Or, 2(3n+1) > 3(n+1) +1, pour tout n ≥ 4
6n+2 >3n+4, pour tout n ≥4

Donc, 2^n+1 > 3(n+1)+1

Conclusion :
Pour tout n ≥ 4, 2^n > 3n+1

Qu'en pensez vous, je vous remercie de votre aide

[SoS-Math(9)]

Bonjour Louis,

C'est bien !

SoSMath.

[Louis]

Merci encore pour votre aide.

[SoS-Math(9)]

À bientôt Louis.

SoSMath.