Divisibilité

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui c'est cela.
La décomposition que l'on te propose te donne une condition nécessaire pour que \(n+2\) divise le nombre \(3n^2 +13n +23\).
Si \(n+2\) divise \(3n^2 +13n +23\), alors, comme il divise aussi \((n+2)(3n+7)\), alors il divise aussi leur différence : \(3n^2 +13n +23-(n+2)(3n+7)=9\).
Est-ce plus clair ?

[Sophie]

Oui, très bien merci !

On utilise donc la méthode de combinaison linéaire à termes constants c'est bien cela ?
Avec un coefficient égal à 1 et l'aigre coefficient égal à -1 ?

D'accord et donc les solutions de n sont celles que j'ai données, il n'y aucune autre ?

[Sophie]

Ensuit, il y a une autre question,
Soit g(x) = ( 3x^2 +13x +23 )/ (x^2 +3x +2 )

On note C sa courbe représentative.
Quels sont les points de C dont les coordonnée sont entières ?

J'ai commencé par simplifier l'expression de g(x) = (3x +16 ) / (x+1)
J'e pensais qu'il fallait trouver les valeurs de x tel que (n+1) divise 3x +16.
Donc (3x+16) -3x -3 = 13 et donc (x+1)| 13
Les diviseurs de 13 sont {-13;-1;1;13}
Et donc les valeurs de x sont { -14;-2;0;12}.
J'ai regarder les images de ces nombres par la fonction g(x), mais leurs ne son pas entières.
Suis-je sur la bonne voie ?
Ou mon raisonnement est-il faux s'il vous plaît ?

Merci de votre aide !

[sos-math(21)]

Bonjour,
ok pour l'avant dernière question, c'est bien un histoire de combinaison linéaire.
La dernière question est à relier à ce que tu as fait précédemment.
Ta fonction ne se simplifie pas ! on peut juste l'écrire \(g(x)=\dfrac{3x^2+13x+23}{x^2+3x+2}=\dfrac{3x^2+13x+23}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{3x^2+13x+23}{x+2}\times\dfrac{1}{x+1}\)
J'ai fait apparaître en première fraction les éléments que tu as déjà étudiés.
Tu sais pour quelles valeurs de \(x\) cette fraction donne un nombre entier.
Il te reste à tester toutes les valeurs que tu as obtenues afin de voir lesquelles donnent des images entières.
Je te laisse organiser cela.
Bonne continuation

[Sophie]

D'accird pour l'avant dernière question !

D'accord je comprends ce qu'il faut faire, cependant lorsque je teste les valeurs de x pour lesquels ( 3x^2 +13x +23) /(x+2) est un nombre entier ( c'est- à-dire x apprtient à {-14;-2;0;12}, je n'obtiens aucun point dont les coordonnées sont entières... Est-ce normal ?

Pour x={ -14; 0 et 12} , j'obtiens des nombres décimaux, et
pour x=-2, la fonction g(x) n'est l'as définie car le dénominateur serait de 0.

Je me trompe sans doute... Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Sommes-nous d'accord que des coordonnées entières d'un point doivent être sans nombre à virgule donc appartenant à l'ensemble Z ?

Merci de votre aide !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sophie,

Cela semble normale, qu'il n'y ait pas de solution !
Si tu regarde la courbe de g, tu t'aperçois (et cela se montre) que pour x > 5 on a 3 < g(x) < 4 et donc g(x) ne peut pas être entier !
de même pour x < -5, on a 2 < g(x) < 3 et donc g(x) ne peut pas être entier !

SoSMath.

[Sophie]

Oui d'accord je vois ! Merci beaucoup !
Donc je justice en disant seulement ceci ? Cela suffit ?

Et pour x appartient à [-5;5] ? Comment faire s'il vous plaît ?

[SoS-Math(9)]

Sophie,

pour [-5;5], il suffit de tester les valeurs entières !

SoSMath.

[Sophie]

D'accord merci !

Finalement, je n'en trouve aucune qui soit entière... Med donc je réponds qu'il n'y a aucune valeur pour lesquelles les coordonnées des points seraient entières ?

[SoS-Math(9)]

Oui Sophie.

SoSMath.

[Sophie]

D'accord très bien !

Merci beaucoup de votre aide !

[SoS-Math(9)]

A bientôt Sophie,

SoSMath.