Bonjour,
je reviens sur une question déjà posée.
Je lis dans le livre de TS collection dirigée par Bertrand Hauchecorne prépas sciences.
Déf : soit A une matrice carrée d'ordre n supérieur ou égal à 2. Par définition, A est inversible s'il existe une matrice B, carrée d'ordre n également, telle que A*B =B*A=I. et dans ce cas B est la matrice inverse de A.
Il est précisé qu'en pratique, une seule vérification suffit !!!
Donc, si j'ai bien compris, il suffit de vérifier A*B = I pour prouver que A est inversible et que son inverse est B. Mais pourquoi est-il inutile de vérifier B*A = I ?
Merci pour votre aide.
Cordialement,
C.
matrice inversible
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Cédric
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sos-math(27)
- Messages : 1427
- Enregistré le : ven. 20 juin 2014 15:58
Re: matrice inversible
Bonjour,
Sous réserve de mes souvenirs lointains ...
Si A*B=I alors (B*A)*(B*A)=B*A d'où : (B*A)*(B*A)-(B*A)=0 et donc : (B*A) * [(B*A)-I] = 0 ce qui amène soit B*A=0 (exclu) soit B*A=I
Je pense que une seule vérification suffit donc.
à bientôt
Sous réserve de mes souvenirs lointains ...
Si A*B=I alors (B*A)*(B*A)=B*A d'où : (B*A)*(B*A)-(B*A)=0 et donc : (B*A) * [(B*A)-I] = 0 ce qui amène soit B*A=0 (exclu) soit B*A=I
Je pense que une seule vérification suffit donc.
à bientôt
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Cédric
Re: matrice inversible
Bonjour,
mais êtes-vous sûr que A*B=0 implique A=0 ou B = 0 ?
merci,
C.
Bonjour Cédric
Désolé de répondre à la suite de ton message, mais le forum est fermé pendant les vacances et donc je ne peux pas poster de nouveau message (comme toi). Je peux seulement modifier ton message ....
Tu as raison, pour les matrices, AB = 0 n'implique pas A = 0 ou B = 0.
La propriété "si A et B sont des matrices carrées telles que AB = I , alors A est inversible et B est son inverse" est vraie.
Pour démontrer cette propriété, il faut utiliser des propriétés sur la notions de groupe (associativité et unicité de l'élément neutre) ... que tu ne connais pas !
SoSMath.
mais êtes-vous sûr que A*B=0 implique A=0 ou B = 0 ?
merci,
C.
Bonjour Cédric
Désolé de répondre à la suite de ton message, mais le forum est fermé pendant les vacances et donc je ne peux pas poster de nouveau message (comme toi). Je peux seulement modifier ton message ....
Tu as raison, pour les matrices, AB = 0 n'implique pas A = 0 ou B = 0.
La propriété "si A et B sont des matrices carrées telles que AB = I , alors A est inversible et B est son inverse" est vraie.
Pour démontrer cette propriété, il faut utiliser des propriétés sur la notions de groupe (associativité et unicité de l'élément neutre) ... que tu ne connais pas !
SoSMath.