Intégrale

[Claire]

Bonjour.

J'ai un problème pour un exercice. Je l'ai déjà fait et j'ai eu la correction mais il y a quelque chose que je ne comprends pas. On a f une fonction définie sur [0;1] telle que f(x) = e^x / (1+x). J'ai déjà montré que f était croissante sur l'intervalle. Ensuite, on pose Sn = (somme pour k variant de 0 à n) f(k/5) et le but est de montrer ceci :
1/5 f(k/5) < (intégrale de k/5 à (k+1)/5) de f(x) dx < 1/5 f((k+1)/5)

Je joints la correction car je ne comprends pas le passage de la deuxième à la troisième ligne de calcul.

Merci par avance pour votre réponse.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Claire,

le passage de \(f(\frac{k}{5}) \leqslant f(x)\leqslant f(\frac{k+1}{5})\)
à \(\int_{\frac{k}{5}}^{\frac{k+1}{5}}f(\frac{k}{5})dx \leqslant \int_{\frac{k}{5}}^{\frac{k+1}{5}}f(x)dx\leqslant \int_{\frac{k}{5}}^{\frac{k+1}{5}}f(\frac{k+1}{5})dx\)
vient de la conservation de l'ordre par intégration ... (si f \(\leqslant\) g sur [a;b] alors \(\int_{a}^{b} f(x)dx \leqslant \int_{a}^{b} g(x)dx\)).

SoSMath.

[Claire]

Pardon, je voulais dire de l'avant dernière ligne à la dernière ligne...

[SoS-Math(9)]

Claire,

c'est la plus simple .... \(f(\frac{k}{5})\) ne dépend pas de x, donc c'est une constante.
Donc une primitive de \(h(x) =f(\frac{k}{5})\) est \(H(x) = f(\frac{k}{5})x\).
Donc \(\int_{a}^{b}f(\frac{k}{5})dx=[f(\frac{k}{5})x]_{a}^{b}=f(\frac{k}{5})(b-a)\).

SoSMath.

[Claire]

Très bien, merci !

[SoS-Math(9)]

A bientôt Claire.

SoSMath.