Fonction trigonométrique (périodicité)

[Claire]

Bonsoir.

On me donne une fonction : f(x) = 1 + sin(2x) + 2cos(x)
On me demande de démontrer qu'on peut l'étudier sur l'intervalle [-pi/2 ; 3pi/2].
J'ai déjà montré qu'elle était périodique de période 2pi et je sais qu'il faut prendre un intervalle de longueur 2pi. Comment justifier en fait les bornes de l'intervalle ?

Merci par avance !

[sos-math(27)]

Bonjour Claire,
Effectivement, l'intervalle donné a bien pour longueur 2pi ce qui est donc attendu.

Ensuite, il existe des relations entre sinus et cosinus du type : \(sin(X+ \frac{\pi }{2})=- cos (X)\) ce qui peut permettre de trouver d'autres propriétés de la fonction.

Jai observé la courbe gràce à Géogebra (image ci après) et il est clair qu'il y a une symétrie à trouver dans le motif : \(f(X- \frac{pi}{2})=-f(X+ \frac{pi}{2})\)

Ceci dit, d'autre propriétés de symétrie de la fonction permettent de réduire l'intervalle d'étude, On doit pouvoir arriver à un intervalle de longueur pi.
à bientôt

[Claire]

Je n'arrive pas trop à visualiser la symétrie. Comment puis-je démontrer en fait qu'il faut étudier f sur l'intervalle donné ?

[sos-math(27)]

Je pense qu'il suffit de dire que l'intervalle donné convient puisqu'il a pour longueur 2pi, c'est suffisant.
à bientôt