Bonjour.
Voici l'exercice qui me pose problème : Soit p un nombre premier strictement supérieur à 3. Montrer que p^2-1 est divisible par 12.
Pour ce faire, je pensais faire deux étapes : montrer que p^2-1 est divisible à la fois par 3 et par 4 (qui sont premiers entre eux). D'habitude, j'utilise un tableau de congruences mais je suis bloquée lorsque je fais la démonstration pour 4 lorsque je tombe sur p congru à 0 ou 2 modulo 4. Intuitivement, j'admets que c'est parce que p est premier donc il ne peut être congru ni à 0 ou à 2 donc j'enlève ces deux colonnes mais je ne trouve pas ça très satisfaisant.
Auriez-vous une autre méthode (utilisant éventuellement le théorème de Gauss) ?
Merci par avance !
Divisibilité + nombres premiers
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sos-math(27)
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Re: Divisibilité + nombres premiers
Bonjour,
L'arithmétique n'est pas ma spécialité.
Il me semble que si p est premier supérieur à 3, alors il est impair et s'écrit donc p=2q+1 où q est un entier.
Il suffit alors d'écrire p²=(2q+1)² , développer, et on montre que p²-1 est divisible par 4 directement.
à bientôt
L'arithmétique n'est pas ma spécialité.
Il me semble que si p est premier supérieur à 3, alors il est impair et s'écrit donc p=2q+1 où q est un entier.
Il suffit alors d'écrire p²=(2q+1)² , développer, et on montre que p²-1 est divisible par 4 directement.
à bientôt