Petits problèmes ouverts

[Amandine]

Bonjour,
j'ai un DM à rendre pour la rentrée mais je bloque sur un problème du dernier exercice, j'espère que vus pourrez m'aider

Voici l'énoncé : Tom a écrit dix cartes de vœux personnalisées et a préparé dix enveloppes correspondantes. Il met les cartes au hasard dans l'enveloppe. Quelle est la probabilité que 9 lettres au moins soient dans la bonne enveloppe.
J'ai commencé à réfléchir au problème. Nous avons dix enveloppes et dix lettres correspondantes, prenons la première carte elle peut soit être dans la bonne enveloppe avec 1/10 de probabilité et dans la mauvaise avec 9/10 de probabilité. Or la seconde carte va dans le bonne enveloppe ou pas et la probabilité dépend du résultat obtenu avant. Si la carte 1 est dans la bonne enveloppe alors pour la carte 2 la probabilité de la bonne enveloppe est de 1/9 et la mauvaise 8/9. Au contraire si la carte 1 est dans la mauvaise enveloppe il y aura 9/9 chance que la 2 soit dans la mauvaise enveloppe et 0 qu'elle soit dans la bonne. Or ceci me paraît bizarre puisque après nous avons donc une succession de 0 sur ce chemin. Est-ce tout de même possible que je continue le problème de cette façon en m’intéressant seulement au résultat qui m'intéresse ? Ou bien doit-je construire un autre arbre avec 3 possibilités : enveloppe bonne, mauvaise enveloppe, mauvaise enveloppe qui est celle de la carte suivante ?
Je précise que j'ai commencé à construire un arbre pondéré pour ce problème afin de m'aider
En espérant que vous pourrez m'aider
A bientôt

[sos-math(27)]

Bonjour amandine,
En matière d'arbre, il existe effectivement plusieurs possibilités.
Cependant, ton raisonnement est erroné sur le second niveau.

Or la seconde carte va dans le bonne enveloppe ou pas et la probabilité dépend du résultat obtenu avant. Si la carte 1 est dans la bonne enveloppe alors pour la carte 2 la probabilité de la bonne enveloppe est de 1/9 et la mauvaise 8/9. Au contraire si la carte 1 est dans la mauvaise enveloppe il y aura 9/9 chance que la 2 soit dans la mauvaise enveloppe et 0 qu'elle soit dans la bonne. Or ceci me paraît bizarre puisque après nous avons donc une succession de 0 sur ce chemin

Que la carte 1 soit dans la bonne enveloppe ou pas, il y a 1/9 et 8/9 sur chaque branche pour le second niveau.
au dernier niveau, il n'y a qu'une branche à chaque fois.

En fait, pour la question posée, tu peux aussi raisonner avec ton arbre que l'événement contraire : toutes les cartes sont bien placées !!!!
à bientôt

[Amandine]

Bonsoir,
Merci beaucoup pour votre aide
J'ai réussi à construire tous les niveaux :
niveau 1 : bonne enveloppe -> 1/10 mauvaise enveloppe -> 9/10 (2 chemins)
niveau 2 : // -> 1/9 // -> 8/9 (4 chemins)
niveau 3: // -> 1/8 // -> 7/8 (8 chemins)
niveau 4: // -> 1/7 // -> 6/7 (16 chemins)
etc il en va de même pour tous les niveaux
mais je n'arrive pas à faire le niveau 10 en sachant qu'au niveau 9 j'ai bonne enveloppe -> 1/2 mauvaise enveloppe ->1/2 (512 chemins)
vous m'avez dit qu'il y avait qu'une branche à chaque fois pour le dernier niveau mais je n'ai pas vraiment compris et je n'arrive pas à l'écrire en terme de probabilité
Merci d'avance
Bonne soirée

[sos-math(27)]

Pour le niveau 10, il ne reste qu'une enveloppe, il n'y a qu'un chemin possible, de probabilité 1 !
Ensuite, le long d'une branche, les probabilités se multiplient.
Je viens de relire la question, en fait, si au moins 9 cartes sont bien placées, cela revient à toutes les avoir bien rangées ..
Tu peux maintenant terminer le calcul

à bientôt