Fraction "continue"

[Cédric]

Bonjour,
Il me faut démontrer ce que vaut le réel qui correspond en fait (je l'ai vu sur Internet) à la fraction continue la plus simple, notée [ 1 , 1 , 1 , 1 , ....] s'il existe ?

Je l'ai modélisé par la suite (U(n)) telle que U(0) = 1 et U(n+1) = 1 + 1/(U(n)) et le problème consiste à chercher la limite éventuelle de (U(n)).

Donc, si la limite de (U(n)) existe, elle vérifie nécessairement l'équation y = 1 + 1/y qui n'admet qu'une solution positive : le nombre d'or, appelons-le z, et ensuite par récurrence,
j'ai montré que I U(n) - z I < (1/z)^n I U(0) - z I et enfin par passage à la limite que I U(n) - z I tend vers 0, donc que la limite de U(n) est bien z.

Est-on obligé de faire ce raisonnement, ou peut-on tout de suite dire ( même si l'escalier est "infini") que le réel qu'on cherche vérifie y = 1 + 1/y donc le réel cherché est le nombre d'or et c'est fini ?
Merci,
Cordialement,
C.

[SoS-Math(31)]

La 1ère démonstration permet de montrer la convergence de la suite.