Limite trigonometrique

[Ali]

bonjour

voila je bute sur le calcul de cette limite:

\(\lim_{x\to \pi/2 } \frac{(sin(2x))^2}{1+sin(3x)}\)

merci de me donner un indice pour demarer cet exercice

ce que je sais c'est qu'il faut arriver à faire apparaitre (t=x-pi/2) pour arriver à t tendant vers zero et peut etre utiliser limte sint/t =1


merci
Ali

[SoS-Math(9)]

Bonjour Ali,

Ta limite est difficile à trouver ....
Pour commencer tu peux essayer de transformer ton expression avec seulement des sin(x) ...
Par exemple : (sin(2x))^2 = (2sin(x)cos(x))^2 = 4 sin²(x) cos²(x) = 4 sin²(x) (1 - sin²(x)).
Essaye de faire la même chose avec le dénominateur.

SoSMath.

[Ali]

merci pour la réponse,

donc sin(3x)= sin2xcosx + sinxcos2x= 2sinxcos²x+sinx(1-2sin²x)=sinx(2-2sin²x+1-2sin²x)+=sinx(3-4sin²x)

donc le rapport devient sin²2x/1+sin3x = 4sin²x(1-sin²x)/(1+sinx(3-4sin²x)

je vois pas de simplifications à faire pour lever l'indetermination

par ailleurs un programme donne 8/9 comme limite

[sos-math(27)]

Bonjour,
Il faut aller au bout de vos calculs, si vous avez des difficultés à écrire avec lateX, écrivez lisiblement à la main, et faites une photo.
Je pense que sur le dénominateur, on peut factoriser par (sin x -1) et aussi au numérateur, ce qui permettra de faire une simplification.
Je ne suis pas allée non plus au bout des calculs, je vous laisse continuer votre travail.
Je reste à l'écoute aujourd'hui...
A bientôt

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Ali,

tu as trouvé :
sin(3x)= sin2xcosx + sinxcos2x= 2sinxcos²x+sinx(1-2sin²x)=sinx(2-2sin²x+1-2sin²x)+=sinx(3-4sin²x)

C'est bien. tu as alors 1 + sin(3x) = -4(sin(x))^3 + 3 sin(x) + 1.

Maintenant on pose t = sin(x) pour factoriser les polynômes :
-4(sin(x))^3 + 3 sin(x) + 1 = -4t^3 - 3t + 1 = (t - 1)(at^2 + bt + c) je te laisse trouver a, b et c.

Pour le numérateur : 4 sin²(x) (1 - sin²(x)) = 4t²(1-t²) = 4t²(1 - t)(1 + t).

Tu peux alors simplifier ton quotient par (t - 1) ce qui va lever ton indéterminée.

NB : tu dois trouvé 0 comme limite.

SoSMath.

[Ali]

Bonjour

donc on a a=-4; b=-4;c=-1

le rapport devient après simplification \(\frac{4sin(x)(sin(x)+1)}{(2sin(x)+1)^2}\)

et limite pour x tendant vers Pi/2 est 9/8

Merci pour votre aide
Ali

[sos-math(20)]

C'est presque bon !! Le quotient résultat est \(\frac{8}{9}\) et pas \(\frac{9}{8}\).

Bonne continuation.

SOS-math