Bonsoir
je ne comprends pas la correction d'un exo de congruences.
Soit p un nb premier impair. Montrer que:
Pr tout n appartenant à Z, (n+1)^p-(n^p+1) congru 0 modulo 2p
dans la correction il y a écrit :
(n+1)^p congu n+1 modulo 2
n^p congue n modulo 2
1 congru 1 modulo 2
Je ne comprends pas comment ils ont trouvé ça je pense qu'ils ont utilisé le petit théorème de Fermat mais je ne vois pas comment.
Merci de m'éclairer
congruences
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Laurie
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sos-math(21)
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Re: congruences
Bonjour,
Le théorème de Fermat assurera la congruence mais modulo p.
Pour la congruence modulo 2, c'est une histoire de parité : si \(n+1\) est pair, alors \(n+1=2k\) et dans ce cas, \((2k)^p=2^p\times k^p=2\times 2^{p-1}\times k^p\), ce qui assure que \((n+1)^p\) est aussi pair donc \((n+1)^p\equiv n\,[2]\).
Je te laisse vérifier que si \(n+1\) est impair alors \((n+1)^p\) est aussi impair.
Bonne vérification
Le théorème de Fermat assurera la congruence mais modulo p.
Pour la congruence modulo 2, c'est une histoire de parité : si \(n+1\) est pair, alors \(n+1=2k\) et dans ce cas, \((2k)^p=2^p\times k^p=2\times 2^{p-1}\times k^p\), ce qui assure que \((n+1)^p\) est aussi pair donc \((n+1)^p\equiv n\,[2]\).
Je te laisse vérifier que si \(n+1\) est impair alors \((n+1)^p\) est aussi impair.
Bonne vérification