Devoir maison Suites

[Fleur]

Bonjour !
Je viens de découvrir ce forum alors je voudrais vous soumettre mon problème ...
Mon dm se constitue de 4 exercices :
Exercice 1: Variations : les trois méthodes ... Etudier le sens de variation des suites ci-dessous :
a) u(n)=n-2^n
b) v(n)= 2n+5/n+1
c) w(n)= 4^n/n+1

Alors pour le a) j'ai essayé de faire avec la méthode : u(n+1) - u(n) mais je me retrouve bloquée alors que je sais que la suite est décroissante :(
J'ai fait : u(n+1) - u(n) = (n+1-2^n+1)-(n-2^n)
= n+1-2^(n+1)-n+2n
= -2^(n+1)+2n+1
Et à cet endroit je ne sais pas comment prouver que -2^(n+1)+2n+1 est décroissante.

Après pour le b) j'ai essayé de faire la dérivée, ce qui m'a donné :
v(n) = 2*1+5/1+1
= 7/2
Ici je ne comprends pas ce que je peux faire avec ce résultat...puisqu'il est positif, est-ce que ça veux dire que la suite est croissante ?

Et enfin pour le c) j'ai pensé à la méthode u(n+1)/u(n) mais pareil que pour le a) je reste bloquée malheureusement :/
J'ai fait : u(n+1)/u(n) = [4^(n+1)/n+2] / [4^n/n+1]
= [4^(n+1)/n+2] * [n+1/4^n]
= 4^(n+1)*n+1 / 4n(n+2)
Et ici je ne sais pas quoi faire de plus...
Le deuxième exercice est sur initialisation-hérédité-conclusion : démontrez que pour tout entier naturel n\(\geq\)2 :
(1-1/2^2)*(1-1/3^2)*...*(1-1/n^2)=n+1/2n

Il faut que j'arrive à l'égalité :
(1-1/2^2)*(1-1/3^2)*...*(1-1/n^2)*(1-1/(n+1)^2) = n+2/2n+1
j'arrive après multiples essais à :
(1-1/2^2)*(1-1/3^2)*...*(1-1/n^2)*(1-1/(n+1)^2) = (n+1/2n) * (1-1/(n+1)^2)
= (n+1/2n) + [(-n-1)/2n(n+1)^2]
Et encore une fois je suis bloquée ><
Je m'excuse aussi pour tous ces calculs qui donnent mal à la tête et qui rendent dure la compréhension !
Merci beaucoup de me répondre ou de me donner ne serait-ce qu'un tout petit indice svp !

[SoS-Math(1)]

Bonjour Fleur,

Je vais essayer de vous aider, mais pour cela je vous conseille de poster un sujet par suite.
Sinon cela est très vite confus.

On va s'occuper de la première suite définie par \(u_n = n-2^n\).

Soit \(n\) un entier naturel et exprimons en fonction de \(n\), \(u_{n+1}-u_n\).
\(u_{n+1}-u_n = n+1-2^{n+1}-n+2^n\).

Je vous laisse terminer et on doit arriver au fait que \(u_{n+1}-u_n=1-2^n\).

Quel est ensuite le signe de \(1-2^n\)?

Bon courage.

[Fleur]

Bonjour ! Merci de m'avoir répondu ! :)
Alors :
u_{n+1}-u_n = n+1-2^{n+1}-n+2^n.
= 1-2^{n+1}+2^n
= 1-2^n*2+2^n
= 1-4^n+2^n
= 1-2^n
Est-ce que c'est cela ?
Le signe de 1-2^n est négatif donc la suite u_n est décroissante ?

[SoS-Math(1)]

Bonjour,

Je ne comprends pas bien la fin de la simplification.

\(1+2^n-2^{n+1}=1+2^n-2^n\times 2\)
Il faut factoriser \(2^n-2^n\times 2\) par \(2^n\).

La conclusion est correcte.

A bientôt.