valeur absolue limite

[jujube]

Bonjour

f(x) définit sur ]0;+oo[ plus on a le graphique de la fonction avec la droite y=x

f(x)=x+3sin(4x) / x

1. Montrer que 0=<|f(x)-x|<=x/3

2.soit epsilon>0 Justifier qu'il existe un réel A strictement positif tel que : si x appartient à [A;+OO[, alors 0=<|f(x)-x|<=x/3

3. En déduire que lim|f(x)-x|=0. Conclure
x=>+oo

Les questions ont l'air simple on le voit directement sur le graphique que la distance entre f(x) et x tend vers zero lorsque x tend vers +oo mais pour l'écrire

1. question 1 je n'arrive pas à démontrer totalement l'inégalité je suis facilment arrivé pour x différent de 0 à |f(x)-x|<=x/3 ensuite je bloque


2,3. donc si l'inégalité au dessus est vrai cela siginife que à partir d'un x=A |f(x)-x| est comprise en zero et zero ensuite théorème des gendarmes.


Donc je n'arrive pas à être rigoureux pour ces trois petites questions. ps : pour montrer quelque chose je dois partir du résultat ou je dois trouver sans m'aider du résultat ( ce qui est parfois plus dure )

Cordialement

[SoS-Math(9)]

Bonjour Jujube,

Je pense qu'il y a une petite erreur dans ton énoncé ....
1. Montrer que 0=<|f(x)-x|<=x/3 .... Je pense qu'il faut montrer que 0=<|f(x)-x|<= 3/x ?

Ensuite, je ne comprends pas ce que tu veux pour la question 1 ...
Tu as trouvé |f(x)-x|<=x/3 (ou 3/x ?) et tu n'arrives pas à conclure ?
En fait, c'est très simple, on sait que la valeur absolue est toujours positive, donc 0=<|f(x)-x|.

Pour terminer, pour montrer quelque chose on NE doit PAS partir du résultat !

SoSMath.

[jujube]

merci de votre réponse et
oui pardonnez moi |f(x)-x|<=3/x

ok il ne faut pas partir du résultat, mais raisonner à partir du résultat et écrire l'inverse est donc une mauvaise habitude ? si cela marche toujours pour l'instant

par en écrivant l'inverse de mon raisonnement est ce juste

f(x)=x+3sin(4x) / x

pour montrer la question 1 -3<=3sin(4x)<=3

pour x>0 -3/x<=3sin(4x)/x<=3/x <=> |f(x)-x|<=3/x => 0<=|f(x)-x|<=3/x

CQFD

2. ???( j'ai pensé à une réponse graphique)je dois recherche epsilon=f(A) ?

3. théorème des gendarmes

Cordialement

[SoS-Math(9)]

Jujube,

tu peux "raisonner à partir du résultat et écrire l'inverse" c'est très bien mais ce n'est pas toujours possible ...

Pour la question 1, il faut partir de la propriété : pour tout x>0, -1<=sin(4x)<= 1 ...

Pour la question 2, il faut utiliser la définition d'une limite en + inf ...
Pour tout epsilon, il existe un réel A strictement positif tel que : si x appartient à [A;+OO[, alors 0=<|f(x)-x|<= epsilon.

Donc ici, avec la propriété de la question 1, en prenant epsilon > 3/x soit x > 3/epsilon = A, on pourra utiliser la définition.
Pour tout epsilon >0, il existe un réel A >0 tel que : si x appartient à [A;+OO[, alors x > A = 3/epsilon soit epsilon > 3/x
or d'après la question 1, |f(x)-x|<= 3/x et comme x/3 < epsilon, alors |f(x)-x|<= epsilon.
Alors par définition, la limite de |f(x)-x| en +inf est égale à zéro.

SoSMath.