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[Julie]

Bonjour, j'ai un dm à rendre pour le rentrer . Voici le sujet :

Soit (P) le pan d'équation x+y+z-4=0 et (P)' le plan d'équation 6x+3y-2z-6=0

1) étudier la position relative des plan (P)et (P)'

Donc j'ai calculé les vecteurs normales . Je trouve vecteur normal a P : n1( 1,1,1)
Et vecteur normal a P' : n2(6,3,-2)

Ensuite je fais le produit scalaire :n1.n2= 6+3-2 =7

C'est différent de 0 donc n1et n2 sont colinéaires . p est parallèle a p'

2 ) Établir un système d'équations paramétriques de la droite d'intersection de P et de P'

X+y+z-4=0
6x+3y-2z-6=0

Mais je ne sais pas si c'est le bon système pour résoudre x, y , et z

Pouvez vous m'aider ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ne trouves-tu pas qu'il y a une contradiction entre ta réponse à la première question et la deuxième question ?
Tu dis :

C'est différent de 0 donc n1et n2 sont colinéaires . p est parallèle a p'

et on te demande ensuite un système d'équations paramétriques de la droite d'intersection entre P et P'.
Tu dois donc reprendre ta conclusion du 1.
Bonne correction

[Julie]

Il faut que je détermine laquelle se trouve au dessus . Mais je ne vois pas comment faire ...

[sos-math(21)]

Que veux-tu dire ?
Tout d'abord le produit scalaire des deux vecteurs normaux n'est pas utile ici : pour montrer que tes plans sont sécants il suffit montrer que tes vecteurs sont non colinéaires, c'est-à-dire prouver que le tableau formé par ces coordonnées n'est pas un tableau de proportionnalité :
\(\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline 1&1&1\\\hline 6&3&-2\\\hline\end{tabular}\)
Reprends cela.

[Julie]

Merci, J'ai trouvé que P et P' sont sécantes.

Pour la question 2 je n'arrive pas à trouver les vecteurs générateurs pour faire les équations paramétriques des plans .
J'ai trouver pour (P) , les solutions évidente : u=(0,1,-1) et v=( -2,1,1)
Mais pour (P') je n'y arrive pas
Pouvez vous m'aider ?

[sos-math(21)]

Pour trouver une représentation paramétrique de ta droite intersection des deux plans, il faut chercher à exprimer les inconnues en fonction d'une seule autre :
si on part de \(\left\lbrace\begin{array}{ccccccccc}x&+&y&+&z&-&4&=&0\\6x&+&3y&-&2z&-&6&=&0\end{array}\right.\)
tu peux réécrire dans la première équation \(z\) en fonction des autres :
\(\left\lbrace\begin{array}{ccccccccc}z&=&4&-&x&-&y\\6x&+&3y&-&2z&-&6&=&0\end{array}\right.\)
et tu réinjectes cette expression dans la deuxième équation afin qu'il n'y ait plus de \(z\) dans cette équation.
Je te laisse faire cela : il te restera ensuite à faire des combinaisons linéaires pour exprimer \(x\) en fonction de \(z\) seulement et \(y\) en fonction de \(z\) seulement.
Il y a un peu de travail .... Bon courage

[Julie]

J'ai déjà fait ça, mais je n'est pas réussis a faire un lien entre ce système que l'on trouve et l'equation paramétrique.

Je vais essayer de le refaire .

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ton système devient :
\(\left\lbrace\begin{array}{ccccccccc}z&=&4&-&x&-&y\\6x&+&3y&-&2(4-x-y)&-&6&=&0\end{array}\right.\)
soit en développant et en regroupant et en réécrivant l'autre équation dans le même sens :
\(\left\lbrace\begin{array}{ccccccccc}-x&-&y&+&4&=&z\\8x&+&5y&-&14&=&0\end{array}\right.\)
Si tu fais 8 fois la première ligne + la deuxième, tu fais disparaitre les \(x\), et tu obtiens les \(y\) en fonction de \(z\)
Si tu fais 5 fois la première ligne + la deuxième, tu fais disparaitre les \(y\), et tu obtiens les \(x\) en fonction de \(z\).
Ces expressions te donneront des équations paramétriques de ta droite.

[julie]

Merci, je vais essayer .

[sos-math(21)]

Avec les indications que je t'ai fournies, ce n'est pas si compliqué que cela.
Bon calcul.

[Julie]

Merci j'ai fini par trouver.

[SoS-Math(9)]

A bientôt Julie,

SoSMath.