complexe conjugué

[anthony]

Bonjour voici j'ai un problème lorsque je dois conjugué un nombre complexe lorsque mon égalité contient des z, des i et \(\overline{z}\)
en même temps

Démontrer que z est un réel

soit U = \(\frac{i(z+3i)-i\overline{z}}{(1-iz)(1+i\overline{z})}\)

soit je sais que lorsque \(\overline{z}\) = z puisque z+zbarre=2Re(z) z est un réel

Bref je suis moyen en complexe la difficulté est calculatoire il faut pas trop réfléchir car par exemple posons h = -i\(\overline{z}\)
donc \(\overline{h}\) =iz ??? pour le dénominateur je pense avoir juste mais le numérateur je sèche
et même je tombe jamais sur le bon résultat je ne trouve pas d'astuces dans ce genre d'exercice, si vous en avez je suis toute ouïe

Madame, Monsieur le professeur je vous remercie au revoir

\(\overline{z}\)

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
La question ne serait-elle pas: démontrer que U est un réel?
Auquel cas, il faut développer le numérateur et le dénominateur.
On trouve \(U = \dfrac{i(z-\overline{z})-3}{1+z\overline{z}}\)
En posant \(z=a+ib\), a et b étant deux réels, vous démontrerez que le dénominateur et le numérateur de U sont des réels.
Bon courage.

[sos-math(20)]

Bonjour Anthony,

Il faut en effet utiliser les règles de calculs sur les conjugués.
Si je comprends bien, c'est le numérateur qui te pose problème, alors regardons-le d'un peu plus près :

\(\overline{i(z+3i)}= \overline{i} \times \overline{z+3i}={-i}(\overline{z}-3i)\)

ET \(\overline{{-i}\overline{z}}=iz\) comme tu l'avais remarqué.

Maintenant développe et réorganise tout cela et tu verras que tu retrouveras le numérateur de z !

Bon courage

SOS-math

[anthony]

Je vous remercie pour votre superbe travail et l'aide précieuse que vous nous offrez. Respectueusement anthony

[SoS-Math(9)]

A bientôt Anthony,

SoSMath.