Equations diophantiennes

[Coline]

Bonjour, j'ai un problème de spé maths auquel je ne comprend pas tout

On considère l'équation (F) : 57x + 10y =1 où (x;y) est un couple d'entiers relatifs inconnu
1) Justifier l'existence de 2 entiers relatifs x0 et y0 solutions de (F).
En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer un couple (x0;y0) solution
2) En déduire que l'équation (F) est équivalente à l'équation : 57(x-3) = -10(y+17)
3) Utiliser le théorème de Gauss pr démontrer que l'ensemble des solutions de (F) est l'ensemble des couples (x;y) tels que :
x=-10k+3
y=57k-17 où k est entier relatif
4) Indiquer les couples de solutions de (E) tels que -20 ≤ x ≤ 0 et 40 ≤ y ≤ 100


Pr la question 1), j'ai mis que 57 et 10 étant premiers entre eux, il existe d'après le théorème de Bézout : 57x+10y=1
Mais je ne comprend pas cmt faire avec le théorème d'Euclide...

Merci de votre aide!

Coline

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Il fait effectuer l'algorithme d'Euclide et ensuite remonter :
On a successivement :
\(57=5\times 10+7\)
\(10=1\times 7+3\)
\(7=2\times 3+1\)
\(3=3\times 1+0\) donc le pgcd est égal à 1 (tu le savais) mais ensuite on réécrit ainsi :
\(7-2\times 3=1\) 3ème ligne
\(10-7-3=0\) 2ème ligne
\(57-5\times 10-7=0\) 1ère ligne
Il faut ensuite faire disparaitre les restes intermédiaires en remontant :
On va donc multiplier la deuxième ligne par (-2) pour faire disparaitre les 3 en additionnant avec la troisième ligne :
\(7-2\times 3=1\) 3ème ligne
\((-2)\times 10+2\times 7+2\times 3=0\) 2ème ligne
on additionne ces deux lignes, on a :
\((-2)\times 10+3\times 7=1\) : il faut ajouter 3 fois la première ligne pour éliminer
\(3\times 57-15\times 10-3\times 7=0\) 1ère ligne ajoutée à celle d'avant donne :
\(3\times 57-17\times 10=1\) et on a bien notre couple \((3\,;\,-17)\)
Bonne continuation