Intégrales

[guillaume]

Bonjour j'ai un exercice , je suis bloqué à la question 2.
Soit f la fonction définie sur R par :

f(t)=4et/(et+1).
et sa courbe C représentée ci-contre.
Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

Un=intégrale de ln(n) à ln(n+1) de f(t)dt.
1)a) A l'aide de la courbe C, donner une interprétation géométrique de Un.
b) Etablir que, pour tout n supérieur à 1, Un=4ln[(n+2)/(n+1)].
2)On pose pour tout n supérieur à 1, Sn=Somme Uk (avec en haut k=n et en bas k=1).
Donner une interprétation en terme d'aire de Sn et déduire du 1)b) une expression simple de Sn.


Voici ce que j'ai fais pour cette la question 3 :

L'aire de Sn est toujours croissante.
Donc Sn= 4ln(2/3) + 4ln(3/2) + ... + 4ln ((n+2)/(n+1))
Je trouve que l’expression de Sn n'est pas si simple que cela Donc est que c'est cela?

Merci en attente de votre réponse.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu peux remarquer que :
\(S_n=\sum_{k=1}^{n}\int_{\ln(k)}^{\ln(k+1)}f(t)dt=\int_{\ln(1)}^{\ln(2)}f(t)dt+\int_{\ln(2)}^{\ln(3)}f(t)dt+.....+\int_{\ln(n)}^{\ln(n+1)}f(t)dt\), tu remarques que les intégrales "s'enchainent" donc que l'on additionne des aires de domaines contigus et qu'au final, on a \(S_n=\int_{0}^{\ln(n+1)}f(t)dt=...\)
Il te reste à faire ce calcul.

[guillaume]

Je vais essayé de faire ce calcul.

Donc := 4e^n+1/(e^n+1+1) -( 4e^0/(e^0+1))

Avant de me lancer plus loin , est ce que cela est déjà bon?

[sos-math(21)]

Tu dois prendre une primitive de ta fonction pour le calcul de l'intégrale....
Bon courage

[guillaume]

F(x) = 4ln (e^x+1)

donc 4ln(e^n+1 - e^0)

Est le bon début?

[sos-math(21)]

Oui pour la primitive,
mais il faut calculer \(F(\ln(n+1))-F(0)=....\)
Reprends cela