Intégration, rentrée

[Aline]

Bonjours, je bloque totalement dans cet exercice. Pouvez-vous me donner des indices s'il vous plaît ? Merci par avance.


On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = 2x + 3 - 4e\(^{-x}\). On note Cf sa courbe représentative.

1a) Montrez que, pour tout x \(\geq\) 1, f(x) > 0.
b) Étudiez la position de Cf par rapport a la droite D d'équation y = 2x + 3.
2) Calculez l'aire entre Cf et d pour x appartenant à l'intervalle [1 ; 3].

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu peux commencer par calculer la dérivée de ta fonction et déterminer son signe.
Tu auras facilement le sens de variation de ta fonction (elle sera strictement croissante) et donc tu pourras conclure : pour tout \(x\geq 1\), \(f(x)\geq f(1)\) et il faudra calculer f(1).
Pour l'étude de la position de la droite et de la courbe, il faut étudier la différence \(f(x)-(2x-3)=....\) et regarder de quel signe est cette différence :
- sur les intervalles où \(f(x)-(2x-3)>0\), la courbe est au-dessus de la droite ;
- sur les intervalles où \(f(x)-(2x-3)<0\), la courbe est en-dessous de la droite ;.
Pour la dernière question, c'est une histoire d'intégrale.
Bon courage

[Aline]

Dites moi si cela est juste s'il vous plait..

f ' (x) = 2 - 4 \(\times\) (-\(e^{-x}\))
= 2 + 4e\(^{-x}\)

2 + 4e\(^{-x}\) = 0
4e\(^{-x}\) = - 2
e\(^{-x}\) = \(\frac{-2}{4}\)
lne\(^{-x}\) = ln\(\frac{-2}{4}\)
- x = - ln\(\frac{2}{4}\)
x = ln\(\frac{2}{4}\) qui vaut environ -0,69

Voici le tableau de variations :

Pour tout x > 1, f(x) > f(1) car 5,75 > 3,53 donc f(x) > 0

[sos-math(21)]

Tu aurais du te rendre compte d'une grossière erreur :
quand tu as \(e^{-x}=-0,5\) et que tu fais \(\ln(e^{-x})=\ln(-0,5)\) : HORREUR, le logarithme n'est pas défini pour les nombres négatifs !
En fait, ton équation n'a pas de solution, car \(e^{-x}>0\) (une exponentielle est toujours strictement positive) et donc \(2+4e^{-x}>0\) pour tout x.
Reprends cela.

[Aline]

D'accord, j'ai compris mon erreur. Je vous remercie.

Pour le b) :

f(x) - (2x - 3)
(2x + 3 - 4e\(^{-x}\)) - (2x - 3)
2x + 3 - 4e\(^{-x}\) - 2x + 3
6 - 4e\(^{-x}\)

et il faut que je fasse le tableau de variations de 6 - 4e\(^{-x}\) ?

[sos-math(21)]

Tu as fait une erreur de signe :
\(f(x)-(2x+3)=f(x)-2x-3\)
Reprends cela

[Aline]

Le résultat est donc - 4e\(^{-x}\) ?

[sos-math(21)]

C'est cela et quel est le signe de cette expression ?
Réponds à cela et tu auras fait la question 2

[Aline]

\(e^{-x\) est toujours strictement positif mais comme -4 est négatif et bien l'expression est négative ?

[sos-math(20)]

C'est bien cela, Aline.
Avec ce résultat, tu devrais pouvoir répondre au b).

[Aline]

b) Donc cela signifie que f(x) - (2x+3) < 0 donc f(x) < 2x + 3.
f(x) se situe en dessous de la droite D.

2) f(x) = 2x + 3 - 4e\(^{-x}\)

F(x) = 2 \(\times \frac {1}{2}x^{2}\) + 3x - 4 \(\times\) (-1)e\(^{-x}\)
= x² + 3x + 4e\(^{-x}\)


Aire = \(\int_{1}^{3}f(x)dx\)
= \(\int_{1}^{3}(2x + 3 - 4e^{-x}\))dx
= [x² + 3x + 4e\(^{-x}\)]\(_{1}^{3}\)
= [(3² + 3 \(\times\) 3 + 4e\(^{-3}\)) - (1² + 3 \(\times\) 1 + 4e\(^{-1}\))]
= 18,2 - 5.5
= 12.7 u.a

[sos-math(21)]

Bonjour,
C'est cela.
Pour la primitive : c'est bon.
Pour l'intégrale : elle vaut \(14+4e^{-3}-4e^{-1}\), ce qui vaut bien 12,7.
Tu as bien travaillé.
Bonne continuation

[Aline]

Je vous remercie beaucoup pour votre aide.
A bientôt.

[sos-math(21)]

Bonne continuation,
je verrouille le sujet.