Loi a densité, TES

[Clémentine]

Bonjour !
Voici un exercice (relativement difficile) sur la loi à densité :

La durée d’attente exprimée en minutes à chaque caisse d’un supermarché peut être modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre 0.12

1) a) Déterminer P(T<10)
b) Déterminer P(10<T<15)
c) Déterminer P(T=20)
c) Sachant qu’un client a déjà attendu 10 minutes à une caisse, déterminer la probabilité que son attente totale ne dépasse pas 15 minutes. On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à 0,01 près de la réponse
2) On suppose que la durée d’attente à une caisse de ce supermarché est indépendante de celle des autres caisses. Actuellement 6 caisses sont ouvertes. On désigne par, Y la variable aléatoire qui représente le nombre de caisses pour lesquelles la durée d’attente est supérieure à 10 minutes.
a) Quelle est la loie suivie par Y ? Donner ses paramètres
b) Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d’attente à au moins 4 des 6 caisses est supérieure à 10 minutes. Déterminer à 0,01 près la probabilité d’ouverture de nouvelles caisses.

Voici l'énoncé, c'est un exercice semblable à plusieurs corrigé sur internet, mais ils utilisent des choses que je n'ai pas encore appris, la fonction ln par exemple...
De plus, je ne sais pas ce qu'est une loi exponentielle...
Je pense que f(x)=0.12e^(-0.12x)

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu as vu en cours que la fonction de densité permettait de calculer calculer des probabilités..
\(P(X<10)=\int_{0}^{10}0,12e^{-0,12t}dt=.....\)
Pour P(10<X<15), tu as \(P(10<X<15)=P(X<15)-P(X<10)=.....\) et tu calcules les intégrales.
P(T=20)=0, car on est dans le cas d'une variable à densité.
Pour la c, il faut calculer la probabilité conditionnelle : \(P_{(X>10)}(X>15)\) et revenir à la définition d'une probabilité conditionnelle.
Je te laisse faire ces premiers calculs.
Bon courage

[Clémentine]

Merci beaucoup !
J'ai trouvé :
1a) P(T<10) = 0.70
b) P(10<T<15) = 0.13
c) P(T=20)=0

Par contre pour la question d. j'ai un problème à un moment :

On cherche à calculer (en italique c'est "sachant que")
P(T>10)(T<15)

Sauf qu'apres, avec la formule des probas, je comprend pas comment on fait...

[sos-math(21)]

Je te fais confiance pour les valeurs, cela m'a l'air correct.
Pour la dernière probabilité, il faut partir de la définition d'une probabilité conditionnelle :
\(P_{(X>10)}(X>15)=\frac{P\left((X>10)\cap (X>15)\right)}{P(X>10)}\)
Il reste à calculer les probabilités : pour le numérateur, un peu de logique va t'aider à voir que \((X>10)\cap (X>15)=....\) : il faut être supérieur à 10 et à 15, ce qui signifie être suéprieur à ...
Pour le dénominateur, il faut travailler avec l'événement contraire : \(P(X>10)=1-P(X\leq 10)=...\).
Bons calculs

[Clémentine]

Oui, pour P(T>10) j'ai fais = 1-P(T<10)=0.70
Et pour P((T>10)n(T>15)) = P(T>15)
Sauf que si je fais :
P(T>15)=1-P(T<15)=1-0.13=0.87
que je divise par 0.70 je trouve 1.24, or une probabilité ne peut etre supérieure à 1

[Clémentine]

J'ai un léger problème, quand je calcule P(T<10) avec la calculatrice je trouve 0.69...
Or, quand je veux la calculer "à la main" en primitivant je trouve -0.69
J'ai F(x)=e^(-0.12x)

[sos-math(21)]

Tu m'as dit que
\(P(T<10)=0,7\) donc \(P(T>10)=1-P(T<10)=0,3\) : il doit y avoir une erreur ici.
Tu as calculé \(P(10<T<15)=0,13\), ce n'est pas \(P(T<15)\) !
Calcule \(P(T<15)\) puis \(P(T>15)\) et reprends la formule.
Bons calculs

[sos-math(21)]

Si tu dérives la primitive que tu as donnée, on a \(F'(x)=-0,12e^{-0,12x}=-f(x)\) : il y a un signe "-" qui a été produit donc il faut compenser ; une primitive sera donc \(F(x)=-e^{-0,12x}\).
Refais tes calculs avec cela.

[Clémentine]

J'ai compris pour la primitive merci !

En ce qui concerne le reste, un peu moins...
Quand vous dite : Il reste à calculer les probabilités : pour le numérateur, un peu de logique va t'aider à voir que : il faut être supérieur à 10 et à 15, ce qui signifie être suéprieur à ...
J'aurai dit supérieur à 15, donc P(T>15) = 1-P(T<15)=1-0.13....

[sos-math(21)]

Tu persistes avec \(P(T<15)=0,13\) : ce n'est pas cela. Ce 0,13 est la valeur de \(P(10<T<15)\) !
Calcule \(P(T<15)=\int_{0}^{15}0,12e^{-0,12t}dt\).
Bon courage

[Clémentine]

J'ai donc :

P(T<15)=0.83
Donc, P(T>15)=1-0.83=0.17
Et P(T>10)=1-P(T<10)=1-0.7=0.3
Donc,
P(T>10)(T<15)=0.17/0.3=0.57

[sos-math(21)]

C'est mieux !
Bonne suite.