limite

[patrick]

bonjour je ne sais pas comment procéder pour calculer cette limite :

\(\[\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\sqrt[{3}]{x+1} -\sqrt[{4}]{x+1} }{x} \]\)

il y a quel qu'un qui peu m'aider ??

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

C'est une limite qui me semble difficile pour un élève de terminale.

Je te conseille de remplacer les racines par des puissances.
par exemple le numérateur devient :
\((x+1)^{1/3}-(x+1)^{1/4}\)

Ensuite je te conseille de mettre \((x+1)^{1/4}\) en facteur.

Ensuite, tu essayes d'utiliser la définition du nombre dérivé de la fonction f définie par f(x)=\((x+1)^{4/3}\) au point 0.

sosmaths

[patrick]

ben c'est un devoir maison pour réfléchir j'ai encore 2 jours pour réfléchir
mais tjs bloquer ça ne marche pas votre méthode c'est encore forme indéterminé il faut chercher comment enlever la forme indéterminé qui est le 0 au dénominateur

[SoS-Math(9)]

Bonjour Patrick,

tu peux aussi remarquer que ta limite ressemble à la limite du taux de variation d'une fonction en 0 ...
Tu as : \(\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[{3}]{x+1} -\sqrt[{4}]{x+1} }{x}=\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\) ... à toi de trouver f(x) !

Enfin je te rappelle que si la fonction est dérivable en 0, alors \(\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^'(0)\).

SoSMath.

[patrick]

non j'arrive pas a trouver cette fonction !!!!!!

[zakaria]

Bonjour sos-math(4) et sos-math(9)
Bon je vois que ça ramène a rien votre méthode on tourne dans le même rond car si on cherche f(x) qui satisfait le taux de variation on va trouver
\(f(x)=\sqrt[{3}]{x+1} -\sqrt[{4}]{x+1} -f(0)\) c’est-à-dire que f(0)=0 .

Bon pour moi je vois que puisque on connais le conjugué de : \(\sqrt[{3}]{x} -\sqrt[{3}]{y}\) qui est : \(\sqrt[{3}]{x^{2} } +\sqrt[{3}]{xy} +\sqrt[{3}]{y^{2} }\) et le conjugué de : \(\sqrt[{4}]{x} -\sqrt[{4}]{y}\) qui est : \(\sqrt[{4}]{x^{3} } +\sqrt[{4}]{x^{2} y} +\sqrt[{4}]{xy^{2} } +\sqrt[{4}]{y^{3} }\) c’est-à-dire que :

\(\left(\sqrt[{3}]{x} -\sqrt[{3}]{y} \right)\left(\sqrt[{3}]{x^{2} } +\sqrt[{3}]{xy} +\sqrt[{3}]{y^{2} } \right)=|x|-|y|\)
et \(\left(\sqrt[{4}]{x} -\sqrt[{4}]{y} \right)\left(\sqrt[{4}]{x^{3} } +\sqrt[{4}]{x^{2} y} +\sqrt[{4}]{xy^{2} } +\sqrt[{4}]{y^{3} } \right)=|x|-|y|\)
alors on a : \({\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{3}]{x+1} -\sqrt[{4}]{x+1} }{x} \right)={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\left(\sqrt[{3}]{x+1} -1\right)-\left(\sqrt[{4}]{x+1} -1\right)}{x} \right)={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{3}]{x+1} -1}{x} -\frac{\sqrt[{4}]{x+1} -1}{x} \right)\) il faut alors calculer \({\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{3}]{x+1} -1}{x} \right)\) on multipliant par le conjuguer du nombre : \(\sqrt[{3}]{x+1} -\sqrt[{3}]{1}\) qui est : \(\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{3}]{x+1} +\sqrt[{3}]{1^{2} }\) On aura :

\({\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{3}]{x+1} -1}{x} \right)={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\left(\sqrt[{3}]{x+1} -\sqrt[{3}]{1} \right)\left(\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{3}]{x+1} +\sqrt[{3}]{1^{2} } \right)}{x\left(\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{3}]{x+1} +\sqrt[{3}]{1^{2} } \right)} \right)={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{3} } -\sqrt[{3}]{1^{3} } }{x\left(\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{3}]{x+1} +\sqrt[{3}]{1^{2} } \right)} \right)\)\(={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{x}{x\left(\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{3}]{x+1} +1\right)} \right)={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{1}{\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{3}]{x+1} +1} \right)=\frac{1}{3}\) avec \(\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{3} } {\rm =|x+1|=x+1\\) par ce que x tend vers 0

maintenant reste à calculer : \(\lim \limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{4}]{x+1} -1}{x} \right)\) on multipliant par le conjuguer du nombre :
\(\sqrt[{4}]{x+1} -\sqrt[{4}]{1}\) qui est : \(\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{3} } +\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{4}]{x+1} +\sqrt[{4}]{1^{3} } \\) On aura :

\(\lim \limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{4}]{x+1} -1}{x} \right)={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\left(\sqrt[{4}]{x+1} -\sqrt[{4}]{1} \right)\left(\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{3} } +\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{4}]{x+1} +\sqrt[{4}]{1^{3} } \right)}{x\left(\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{3} } +\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{4}]{x+1} +\sqrt[{4}]{1^{3} } \right)} \right) \\ {\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{4} } -\sqrt[{4}]{1^{4} } }{x\left(\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{3} } +\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{4}]{x+1} +1\right)} \right)={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{x}{x\left(\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{3} } +\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{4}]{x+1} +1\right)} \right) \\ {{\rm \; }\;avec\;\sqrt[{4}]{x+1} =|x+1|=x+1{\rm \; par\; ce\; que\; x\; tend\; vers\; 0}} \\ {={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{1}{\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{3} } +\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{4}]{x+1} +1} \right)=\frac{1}{4} }\)

Conclusion : \({\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{3}]{x+1} -\sqrt[{4}]{x+1} }{x} \right)=\frac{1}{3} -\frac{1}{4} =\frac{1}{12} \\)

Pour celui qui a un doute il suffit de taper la fonction : \(f(x)=\frac{\sqrt[{3}]{x+1} -\sqrt[{4}]{x+1} }{x}\) sur une calculatrice programmable et regarder la limite de la fonction au point 0

[sos-math(21)]

Bonjour,
Considérez la factorisation suivante : \(\frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}-(x+1)^{\frac{1}{4}}}{x}=(x+1)^{\frac{1}{4}}\times \frac{(x+1)^{\frac{1}{12}}-1}{x}\)
En considérant désormais la fonction f définie par : \(f(x)=(x+1)^{\frac{1}{12}}\), on se rend compte que le quotient :
\((x+1)^{\frac{1}{4}}\times \frac{(x+1)^{\frac{1}{12}}-1}{x}=(x+1)^{\frac{1}{4}}\times\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\).
Donc lorsque x tend vers 0, le taux d'accroissement tend vers \(f'(0)\) (car la fonction est dérivable)...
Je vous laisse conclure.