PGCD

[Laura]

Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour l'exo suivant, merci d'avance
n désigne un entier naturel
a=7n^2+4
b=n^2+1
1/Démontrer que tout diviseur commun à a et b est un diviseur de 3 ( je pense qu'il faut trouver une combinaison linéaire qui élimine n^2)
2/a)Expliquer pourquoi si PGCD(a,b)=3 alors il existe un nombre entier naturel k tel que n^2+1=3k
b)Démontrer que cela est impossible par disjonction de cas
3.En déduire PGCD(a,b)
Merci

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

1) oui, tu penses bien, trouve cette combinaison linéaire, c'est facile.
2)a) si le pgcd est 3, donc 3 divise b, donc .............

b) essaye n=3p puis n=3p+1 puis n=3p+2

[Laura]

Merci pour votre réponse
la combinaison linéaire c'est 7a-b=7n²+7-7n²-4=3
si Pgcd(a,b)=3 alors 3 divise b, donc il existe k entier tel que b=3k, donc n²+1=3k.
les diviseurs de a et b sont des diviseurs de 3 (soit 1 ou 3), comme 3 n'est pas possible,donc pgcd(a,b)=1
Mais je comprend pas trop pour la disjonction de cas
Merci

[SoS-Math(4)]

3 n'est pas possible mais il faut le montrer.

Tu calcules b= n²+1 en remplaçant n par 3p.

On obtient b=9p²+1=3(3p²)+1 donc dans ce cas là b a pour reste 1 dans la division par 3, donc b n'est pas divisible par 3.

Tu recommences avec n=3p+1

puis ensuite avec n=3p+2

sosmaths