Fonctions

[Carole]

Bonjour,
Voici un exo de mon dm, je bloque aux deux dernieres questions, merci pour votre aide
1)soit g la fonction définie sur R par: g(x)=4x^3-3x-8
a) etudier le sens de variation de g
b) déterminer le nombre de solution de l'équation g(x)=0
c) déterminer l'ensemble des solutions
d) etudier le signe de g(x)

2) soit f la fonction definie par f(x)=(x^3+1)/(4x^2-1)
a) determiner le signe et le sens de variation de f(x)
b) trouver les réels a,b,c et d tels que pour tout réel x f(x)=ax+b+(c/2x-1)+(d/2x+1)
c) montrer que la droite d'équation y=ax+b est une asymptote à la courbe de f en + l'infini
Je bloque à la question 2) b et c
Merci d'avance pour votre aide

[sos-math(21)]

Bonjour,
Il s'agit d'identifier :
On part de la forme proposée : \(ax+b+\frac{c}{2x-1}+\frac{d}{2x+1}\) et on met tout au même dénominateur :
\(ax+b+\frac{c}{2x-1}+\frac{d}{2x+1}=\frac{(ax+b)(4x^2-1)}{4x^2-1}+\frac{c(2x+1)}{4x^2-1}+\frac{d(2x-1)}{4x^2-1}\) On développe tout et on compare avec l'expression de f(x) :
\(\frac{(ax+b)(4x^2-1)+c(2x+1)+d(2x-1)}{4x^2-1}=\frac{x^3+1}{4x^2-1}\)
Ensuite on "identifie" puissance de x par puissance de x : les deux polynômes au numérateur son égaux donc leurs coefficients respectifs sont égaux : on obtiendra alors des équations sur a, b, c et d.
Bon courage, il y a un peu de travail.

[Carole]

Merci beaucoup pour votre réponse
ça fait presque une heure que j'essaie de trouver mais j y arrive pas a touver les équations de a,b,c et d
merci

[sos-math(21)]

je t'aide un peu : tu dois obtenir aux numérateurs :
\(4ax^3+4bx^2+(2d+2c-a)x-b+c=x^3+1\)
Il reste ensuite à identifier :
selon les \(x^3\) : \(4a=1\)
selon les \(x^2\) : \(4b=0\)
....
Je te laisse terminer.

[Carole]

Merci beaucoup pour votre aide
donc si j'ai bien compris on obtient ça:
x^3 :4a=1
x^2 :4b=0
x : -a+2c+2d=0
-b+c=1
merci

[SoS-Math(9)]

Oui Carole, c'est exact !

SoSMath.

[Carole]

Merci beaucoup pour votre aide
c est bon pour cette question mais je bloque à la derniere question
merci pour le temps que vous consacrez

[SoS-Math(9)]

Carole,

pour la dernière question, il faut montrer que si la limite de (f(x)-ax+b) tend vers 0 lorsque x tend vers +infini.
Pour le montrer il faut utiliser le résultat précédent.

SoSMath

[Carole]

c'est bon je trouve bien que la limite de f(x)-ax+b est 0 quand x tend vers plus l infini
merci