produit scalaire

[Invité]

Bonsoir
Je suis en terminale S et je bloque sur qq questions d'un exo, voici le sujet et mes réponses :

ABC triangle rectangle et isocèle en A et AB=a
le point I vérifie : \(\overrightarrow{AI}\) = 1/3 \(\overrightarrow{AB}\) et on appelle K milieu de [IC]
1) a) prouver que dans ACK la médiane issue de K est aussi hauteur : j'ai calculé le produit scalaire des vecteurs KH et HC =0
b) Calculer AK : AK= ( \(\sqrt{10}\) /6 )a
2) a) Montrer que \(\overrightarrow{AK}\) = 1/2 (\(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{AI}\) ) : je suis partie de \(\overrightarrow{AK}\) = \(\overrightarrow{AI}\) + \(\overrightarrow{IK}\) J'y suis arrivée
b) en déduire que \(\overrightarrow{AK}\).\(\overrightarrow{AB}\) = 1/6 a² : mais je trouve 2/3 a² pourtant j'ai utilisé le résultat de la question précédente
c) en déduire BÂK : =60°
3) le point J vérifie : \(\overrightarrow{AJ}\) = 1/3 \(\overrightarrow{AC}\)
Montrer que (BJ) et (AK) sont perpendiculaires : j'ai calculer BJ= ( \(\sqrt{10}\) /6 )a puis le produit scalaire des vecteurs AK et BJ mais il n'est pas nul

je n'arrive pas à aboutir les question 2b) et 3)
merci d'avance
hélène

[SoS-Math(9)]

Bonjour Hélène,

Tes réponses semblent justes.
Cependant, comment as-tu fait pour répondre à la question 1.a) ? (Je ne suis pas sûr que la produit scalaire soit la meilleure façon de faire ...)

Pour la question 2b), la réponse est (1/6)*a². Pour répondre, tu peux te placer dans le repère orthormé (A, 1/a vect(AB), 1/a vect(AC)), puis calculer les coordonnées des vecteurs et le produit scalaire.

A la question 2c), ang(AKB) n'est pas égale à 60°. mais à environ 57,5°.

Pour la question 3), là encore tu peux utiliser le repère de la question 2b).

Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

Bonjour
A la 1)a) pour prouver que la médiane (KH) est aussi hauteur :

j'ai calculer KH à partir de l'égalité vectorielle IC=2KC <=> IC= 2(KH+HC) .... <=> norme KH= (1/6) a

Ensuite j'ai fait le produit scalaire de
KH.HC= 1/2 [(KH+HC)²-(KH)²-(HC)²] = 1/2 [(KC)²-(KH)²-(HC)²] avec KC = (\(\sqrt{AI²+AC²}\))/2 car ACI rectangle en A donc on trouve le produit scalaire nul
Est ce juste ?

Pour la 2)c) l'angle BÂk est normalement environ = 72°

MERCI de votre aide j'ai réussi à faire les autres questions
Hélène

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Hélène,

Ta méthode est bien compliquée... Pour savoir si elle est juste, il faut détailler ce qui se trouve dans les "..." de :

IC= 2(KH+HC) .... <=> norme KH= (1/6) a

Sinon, il y a bien plus simple avec des propriétés des classes de collège... Que sais-tu de la hauteur et de la médiane issue du sommet principal d'un triangle isocèle ?

A bientôt

SOS Math

[Invité]

ds un triangle isocèle médiane et hauteur sont confondues. En effet on pourrait utiliser cette méthode mais il faudrait prouver que AKC est isocèle en K dc AK=KC or à la qt°suivante 1b) on ns demande de calculer AK.
je pensais dc que se serait plus judicieux de ne pas utiliser cette méthode.

merci de votre aide

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Hélène,

Tu fais preuve d'esprit critique et c'est très bien. On peut, cependant, prouver que le triangle AKC est isocèle sans utiliser les longueurs des côtés.
Que sais-tu du triangle rectangle et de la médiane issue de l'angle droit ?

A bientôt
SOS Math