Suite arithmético-géométrique

[Pierre-Gabriel]

Bonjour j'ai un DM à rendre, et je souhaiterai avoir de l'aide pour les questions 2) a) et 2) b)

"Dans un village, l'association de gym comptait 50 adhérents en 2006. Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année elle reçoit 18 nouvelles adhésions et que 85% des anciens inscrits renouvellent leur adhésion. On note An le nombre d'adhérents pour l'année 2006+n. On a donc A0=50 et An+1=0.85An+18 pour tout entier naturel n.

1) Soit la suite (Un) définie par Un=An-120 pour tout n supérieur ou égal à 0
a) Montrer que la suite (Un) est géométrique. (Un) est géo de raison q=0.85 et U0=-70
b) Démontrer que pour tout entier naturel n, An=120-70x0.85^n. J'ai su le démontrer
c) Etudier le sens de variation de la suite An J'ai étudié la limite de 120-70x0.85^n et j'ai trouvé qu'elle tendait vers 120
d) Montrer que pour tout n supérieur ou égal à 20, An est compris entre 117 (inclu) et 120 exclu. Interpréter ce résultat J'ai calculé pour n= 20 et n=30. Ce qui m'a permis de dire qu'après 20 ans, le club aura entre 117 et 120 adhérents.

2) Chaque année, 60% des adhérents s'inscrivent pour 1h de gym, et 40% pour 2h.
a) Exprimer en fonction de n le nombre d'heures de gym à prévoir par semaine pour l'année 2006+n
b) Une séance de gym dure 1h et est limitée à 20 personnes. On veut déterminer à partir de quelle année l'association devra prévoir plus de 8 séance par semaine. Démontrer qu'alors n doit vérifier l'inéquation 98x0.85^n inférieur à 8. Résoudre cette inéquation et conclure."

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

2)a)Pour l'année 2006+n, il y a An adhérents
60% de ces adhérents c'est çà dire 60An/100 prennent 1 h de cours par semaine ce qui fait 0,6An fois 1 heures de cours.
40% de ces adhérents c'est à dire 40An/100 prennnet 2 heures de cours par semaine ce qui fait .....................heures de cours
En tout on obtient .............................heures de cours.

2)b) 8 séances par semaine représentent 160 heures donc en utilisant le résultat de la question précédente....

sosmaths

[Pierre-Gabriel]

Pour la question 2) a) , je trouve 1.4 en ayant fait 0.6+0.4x2 . Soit 140 heures de cours. Mais je ne suis pas certain.
Et pour la b) je ne comprends pas ce que représente 98

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Celà fait : 0,6An+0,8An=1,4 An et non pas 1,4 ou 140.
Or tu connais An. Son expression est donnée dans l'énoncé. Donc dans 1,4An, tu remplaces An par cette expression, et tu obtiens le nombre d'heures de cours par semaine en fonction de n.
Il faut finir cette question avant de faire la suivante.

sosmaths

[Pierre-Gabriel]

J'ai compris pour la a) j'ai donc trouvé 98x0.85^n.
Ensuite, pour la b) j'ai remplacé l'exposant n par 15 puis par 16, ce qui m'a donné, pour n=15 je trouve 8.56 et pour n=16 je trouve 7.28 . Donc j'ai conclue que c'est à partir de 16 années, que le club devrai prévoir plus de 8 séances par semaine.

[sos-math(20)]

C'est bien au bout de 16 ans, en effet.
A bientôt sur SOS-math

[Pierre-Gabriel]

Merci beaucoup!