Probas conditionnelles

[Julia]

Bonjour ! J'ai un exercice dont je n'ai compris que certaines questions...

Voici l'énoncé :

Dans cet exercice les résultats approché seront donnés à 0.0001 près.
Lors d'une épizootie, touchant essentiellement les moutons, on s'est aperçu que si la maladie était diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal (avant que les symptômes 'apparaissent), on pouvait le guérir, sinon la maladie est mortelle.
Un test est mis au point et essayé sur un échantillon de moutons dont 1% sont malades. On obtient le résultat suivant :
Si un animal est malade, le test est positif dans 90% des cas
Si un animal est sain, le test est négatif dans 95% des cas

On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d'utiliser les test pour un dépistage préventif de la maladie.
On note :
M l'évènement : "l'animal est atteint par la maladie"
P l'évènement : "le test est positif"
\(\overline{P}\) : "le test est négatif"

1. Construire un arbre pondéré.
(J'ai réussis)

2. Un mouton choisi au hasard :
a. Quelle est la probabilité pour qu'il soit malade et que son test soit positif ?

P(M n (lire inter) P=P(M)x Pm(P) (lire P de P sachant M) = 0.010.090=0.009

b. Vérifier que la probabilité pour que son test soit positif est des 0.0585

P(P)=P(PnM)+P(Pn\(\overline{M}\))=0.009+0.0495+0.0585

3. Un mouton est choisi parmi ceux dont les test est positif, quelle est la prob pour qu'il soit malade ?

Pp(M)=P(PnM)/P(P)=0.009/0.0585=0.1538

4. On choisit 5 moutons au hasard, dans un troupeau suffisamment important pour que les épreuves puissent être considérées comme indépendantes et que les tirages puissent être assimilés à des tirages avec remise. Quelle est la probabilité pour qu'au moins un des 5 ait un test positif ?

C'est là que j'ai pas compris..
Je pense qu'il faut se servir de P(P)=0.0585 mais j'en suis pas sure

Merci de votre aide !

[sos-math(21)]

Bonjour,
Cela me parait correct pour les premières questions.
Pour la dernière,

On choisit 5 moutons au hasard, dans un troupeau suffisamment important pour que les épreuves puissent être considérées comme indépendantes et que les tirages puissent être assimilés à des tirages avec remise

Cette formulation doit te faire penser à quelque chose....
Il s'agit d'une répétition cinq fois de suite d'une même épreuve de Bernoulli de probabilité de succès : \(p=0,0585\) : on est dans un schéma binomial. On note X la variable aléatoire comptant le nombre de tests positifs dans cette succession d'épreuve de Bernoulli, X suit donc la loi binomiale \(\mathscr{B}(5\,;\,0,0585)\).
Il s'agit pour toi de calculer \(P(....)\)...
Je te laisse faire

[Julia]

En effet, on utilise la loi binomial.

On calcule P(X=1)=(5 1) x 0.0585^1 x (1-0.0585)^5-1=0.2298

Je conclue avec ma phrase de réponse.

Voici la question 5 :

Si un mouton a un test positif, le coût des soins à apporter est de 45€ et le coût de l'abattage d'un animal non dépisté par le test mais atteint par la maladie est de 800€.
On suppose que le test est gratuit. D'après les données précédentes, compléter le tableau suivant traduisant la loi de probabilité du coût à engager par un animal subissant le test :

Coût : 0€ Proba :
Coût : 45€ Proba : 0.0585
Coût : 800€ Proba : 0.0495

Je ne suis pas sure pour la proba de 800€ et je pense que celle pour 0€ est 1... Puisque tout les moutons sont testés..

[sos-math(21)]

Bonjour,
attention, il faut au moins un mouton avec un test positif :
donc on calcule \(P(X\geq 1)\). Calculer cette probabilité revient à calculer la probabilité qu'il y ait 1, 2 3, 4 ou 5 tests positifs dans ce tirage de 5.
Ainsi, dans ce cas-là, il est plus facile de calculer la probabilité de l'événement contraire \(P(X=0)\) et de "l'inverser" :
\(P(X\geq 1)=1-P(X=0)\)
Pour la loi du coût, il faut raisonner en partant du test :
si T est réalisé il faut payer 45 euros quoiqu'il arrive ;
Si T n'est pas réalisé, ou bien le mouton est malade et le coût est de 800 euros ou bien le mouton est sain et il n'y a rien à payer :
On a donc trois événements complémentaires : \(\underbrace{T}_{45 \, euros}\,;\, \underbrace{\bar{T}\cap M}_{800\, euros}\,;\, \underbrace{\bar{T}\cap \bar{M}}_{0\, euros}\)
Calcule la probabilité de chacun cela te permettra de compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire Y de coût
\(\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline &Y=0&Y=45&Y=800\\\hline P(X=k)&&&\\\hline\end{array}\)
Bon courage

[Julia]

4. J'ai donc calculer P(X=0)=0.9711
Donc, P(X>=1)=1.09711=0.0289

5.
Coût 0€ --> Proba 0.09405
Coût 800€ --> Proba 0.0585
Coût 45€ --> Proba 0.001

Suite de l'énoncé :
6. Calculer l'espérance mathématique de cette loi

E(X)=0*0.9405+45*0.0585+800*0.001=6.065
Un éleveur paiera en moyenne 6.065€ par mouton (Je suis pas sure de bien lire le résultat de l'espérance)

7. Un éleveur possédant un troupeau de 2500 moutons veut savoir quel sera le montant prévisible des frais à engager suite au passage du test à son troupeau. Déterminer la valeur de ce montant (on arrondira à un euro près)

Je pense, qu'il faut que je détermine combien de moutons sont malades, testés positif ou non sur les 2500. Et j'applique les même formule que pour le 5. avec les nombres trouvés

[sos-math(21)]

Bonjour
Pour la 4, cela m'a l'air correct ;
pour la 5, si on reprends mon tableau, tu dois avoir la loi :
\(\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline &Y=0&Y=45&Y=800\\\hline P(X=k)&0,9405&0,0585&0,001\\\hline\end{array}\)
donc l'espérance qui est la moyenne des valeurs pondérées par les probabilités correspond bien à ton calcul.
Pour la dernière, si tu sais le coût "espéré" par mouton, il ne doit pas être difficile de trouver le coût "espéré" pour 2500 moutons.
Bon courage