suite

[malek]

jour j'ai un exercice que j'ai commencer mais je bloque a. La question 2.
Exercice : 0n considéré la suite (un) définie par u0=5 et un+1=5un-7n.
2) démontrer que pour tout n E N,un>2n
b) Montrer que pour tout réel A>0,il existe un réel n0 tel que pour tout entie n>n0, on ait un>A. Que peut-on en déduire?
c) Pourquoi peut-on affirmer que l'algorithme s'arrête pour tout nombre réel A>0? Que permet-il de calculer ?
Algorithme :
Variable: A,n,u
Entrée : Saisir la Valeur A
Initialisation
n prend la valeur 0
U prend la valeur 5
Traitement
Tant que U<A
U prend la valeur 5U+n
n prend la valeur n+1
Fin du Tant que
Sortir
Afficher n
Merci de votre aide.

[sos-math(22)]

Bonsoir,
Pour cette question, tu peux faire un raisonnement par récurrence. Pour cela, tu peux appeler P(n) la propriété. A savoir : \(u_n>2n\). Je te conseille de démontrer cette propriété à partir de n=2. Bonne continuation.

[malek]

Initialisation : la propriété est vraie au rang n=2
En effet: u2=76
U2>(ou égale a)2n
L'initialisation est vérifie r
Hérédité : supposons que la propriété est vraie au rang n, c'est-à-dire : un>(ou egalr a) 2n(HR)
Montrons que la propriété est vraie au rang n+1: un+1>(ou égal a) 2n+1
On sait que un>2n(HR)
Alors: 5un>10n
5un-7n>10n-7n
Un+1>3n
Conclusions : la propriété p(n) est vrai pour tous ne N ,d'après le principe de récurrence.

[malek]

Pour la.b:
On calcule la limite de un:
Lim(+infini) 2n=+infini
Donc par comparaison lim(+infini) = + infini
Soit A un entier naturel non nul,puisque lim un(+infini)=+infini il existe alor un entier n0 tel que n>(ou égale) 0,on ait un>A

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Pour la récurrence si tu notes \(P_n\, :\, u_n>2n\)
alors la propriété au rang n+1 s'écrit :\(P_{n+1} \,:\, u_{n+1}>2(n+1)\) donc \(P_{n+1} \,:\, u_{n+1}>2n+2\)
Je suis d'accord avec tes inégalités : on a bien \(u_{n+1}>3n\)
Mais est-on sûr que 3n>2n+2 ? Il suffit de soustraire : \(3n-(2n+2)=3n-2n-2=n-2\) et comme \(n\geq 2\), on a bien \(3n\geq 2n+2\) donc \(u_{n+1}>2n+2\)
Pour la b, je pense qu'il faut raisonner à l'envers.
Si on prend un nombre A>0 quelconque et que l'on prend \(n_0\) le nombre entier immédiatement supérieur à A/2, on a \(2n_0>A\)
donc pour tout \(n>n_0\), \(u_n>2n>2n_0>A\).
C'est à partir de cette inégalité que tu dois obtenir la limite de \(u_n\), cette inégalité traduit que pour n'importe quel A>0, on peut trouver des termes de la suite supérieurs à A, ce qui est exactement la définition de \(\lim_{x\to+\infty} u_n=+\infty\).
Bon courage.

[malek]

Bonjour,
Merci, pour la 2.c) l'algorithme permet de calculer tous les termes de la suite (un)<A? Pour a=1000 je trouve 4 est ce correcte? Merci

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Ce n'est pas exactement ça;
L'algorithme permet de calculer la plus petite valeur de n, telle que....................

n=4 est juste;

sosmaths

[malek]

Telle que U<A

[SoS-Math(4)]

non, c'est pas ça.

sosmaths

[malek]

A>0

[SoS-Math(4)]

Réfléchis un peu plus avant de répondre;

sosmaths

[malek]

n>n0

[SoS-Math(4)]

C'est un peu la loterie, on dirait.
ça prouve que tu n'as pas bien compris l'algorithme.
Pourtant pour A=1000 tu as trouvé 4.
Ok, alors 4, ça représente quoi ?

sosmaths