Math suite et factorielle

[chipie8528]

n non nul n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1

Un= p=0 sigma n (1/P!)= 1+1/1!+1/2!+...+1/n!

J ai fait la questions 1.2.3. la 4a et 4b mais a partir de la je bloque

4A La suite Un est croissante (fait)
4B Récurrence k appartient N on a k!>=2^k-1

Initialisation:
k=2 2>=2
donc la propriete est vrai

Heredite
Supposons k!>=2^k-1
Montrons (k+1)!>=2^k

k!>=2^k-1
k*k!>=k*2^k-1
(k+1)!>=k*2^k-1
2(k+1)!>=2k*2^k-1
apres je ne sais pas comme faire

4C Démontrer que Un <=1+1/1+1/2+1/2²+...+1/2^n-1 pour n appartient N
4D Exprimer en fonction de n appartient N la somme 1+1/1+1/2+1/2²+...+1/2^n-1

[sos-math(22)]

Bonsoir,

Pour l'hérédité, ce que tu as me semble très confus. Reprenons.

Hypothèse de récurrence : \(k! \geq 2^{k-1}\).

On multiplie cette inégalité par \(k+1\) (qui est bien un nombre strictement positif).

On obtient : \(k! \times (k+1) \geq 2^{k-1} \times (k+1)\).

Or \(k+1\geq 2\), car \(k\geq 1\).

donc \(\left( k+1\right) !\geq 2^{k-1}\times 2\).

soit \(\left( k+1\right) !\geq 2^{k}\)

La propriété est donc vérifiée au rang \(k+1\).

Bonne continuation.