logarithme népérien et inéquation

[Luna]

Bonjour,
pour démontrer la limite d'une suite, j'aimerai exprimer n en fonction de E mais je n'arrive pas à le faire.
E/2500 > 0.8^n > 0

Je sais que pour exprimer n lorsqu'il est en puissance on peut utiliser le logarithle népérien mais dans une inéquation je sais pas comment m'y prendre. Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Luna,

Si tu as l'inégalité \((0<)a<b\) alors tu auras \(ln(a)<ln(b)\) car la fonction logarithme est croissante sur ]0; + infini[.
Ceci devrait te permettre de répondre à ta question.

SoSMath.

[Luna]

Donc si j'ai bien compris , çà donne
Ln(E/2500)>Ln(0.8^n)
Ln(E/2500)>n*Ln(0.8)
[Ln(E/2500)] / [Ln(0.5)] < n

C'est bien çà; j'espère

Si c'est juste je vous remercie bcp de votre aide

[Luna]

pardon c'est 0.8 à la place de 0.5

[sos-math(21)]

Bonjour,
la démarche est correcte, mais ...
quand je prends les logarithmes de chaque côté, la fonction ln étant stritement croissante, elle respecte l'ordre donc on a bien
\(\ln\left(\frac{E}{2500}\right)>\ln(0,8^n)\) ; la propriété de la fonction ln par rapport aux exposants permet de "faire descendre" l'exposant \(n\) .
On a donc : \(\ln\left(\frac{E}{2500}\right)>n\times \ln(0,8)\). Pour terminer le travail "d'isolement du n", il resterait à diviser par \(\ln(0,8)\).
Et, là, ATTENTION, il faut toujours se poser la question de la division dans une inéquation :
Si on divise par un nombre strictement positif, l'ordre est conservé ; si on divise par un nombre strictement négatif, l'ordre est inversé.
Quel est le signe de \(\ln(0,8)\) ?
Je te laisse conclure.

[Luna]

Oui voilà merci de votre aide

[sos-math(21)]

Bon courage pour la suite.
A bientôt sur sos-maths