DM Algorithme de Newton [vers la prépa]

[Maxime]

Bonjour à tous :)

Voilà j'ai un dm (type prépa), mais je suis bloqué à une question qui m'empèche d'avancer.

Soit f la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par:
\(f(x)=x^2-2\)
On note \(C_f\) sa courbe représentative.
Soit \(n\in N\) et \(U_n\in ]0;+\infty[\). Montrer que pour tout \(T_n\), la tangente à \(C_f\) au point d'abscisse \(U_n\), coupe l'axe des abscisses en \(U_{n+1}\) avec:

\(U_{n+1}=\frac{1}{2}(U_n+\frac{2}{U_n})\) (R)

-> Ca j'ai réussi.

1. Justifier que 1 < 2 < 2

-> Je suis partis du principe que 1 < 2 < 4, puis j'ai mis la racine, et comme la fonction racine est croissante sur \([0;+\infty[\), alors l'inéquation ne change pas de signe.

2. On pose \(U_0=2\). Grâce à la relation (R) précédente, justifier que l'on peut définir la suite (U_n) sur N.

-> J'ai fais une récurrence pour démontrer que \(U_n>0\).

3. Montrer que, pour tout \(n\in N\), \(U_n>1\)

-> J'ai fais la dérivé de la fonction représentative de la suite \(U_{n+1}\). Je trouve le bon résultat mais est-ce la bonne méthode ?

4. Montrer que, pour tout \(n\in N\), on a:

\(|U_{n+1}-\sqrt{2}|\le \frac{1}{2}(U_n-\sqrt{2})\) (H)

-> J'ai réussi en partant du principe que \(U_{n+1}=\frac{1}{2}(U_n+\frac{2}{U_n})\) et que \(U_n>1\)

5. Traduire en langage courant ce dernier résultat. Qu'a-t-il de remarquable ?

-> La distance entre \(U_{n+1}\) et \(\sqrt{2}\) est plus petite où égale à la moitié de son carré.
Je ne vois pas quoi remarquer. Mon professeur m'a dit qu'il fallait en déduire qu'on avait un encadrement, mais je ne sais pas quoi faire de cet encadrement dans la question d'après. Du coup si on encadre le tout en enlevant la valeur absolue on a:
\(\frac{-1}{2}(U_n-\sqrt{2})^2\le u_{n+1}-\sqrt{2}\le \frac{1}{2}(U_n-\sqrt{2})^2\)

6. En déduire que, pour tout \(n\in N\), on a:

\(|U_n-\sqrt{2}|\le \frac{1}{2^{2^n-1}}\) (H)

-> Je ne vois pas du tout comment faire. J'ai essayé de partir de la question 4 et de développer, mais je me suis très vite embrouiller. J'aimerais avoir la méthode de départ pour cette question, pour pouvoir finir seul.

7. Conclure en donnant une condition suffisante pour connaître une approximation de \(\sqrt{2}\) à \(10^{-10}\) près.

-> Je me doute qu'avec l'encadrement trouvé dans la question d'avant on va pouvoir encadrer \(\sqrt{2}\), mais comment ?

Si vous pouviez m'aider pour que je soit lancé, ce serait gentil
Je vous remercie d'avance !

Bonne soirée.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Maxime,

Une méthode possible serait de partir de : \(|U_{n+1}-\sqrt{2}|\le \frac{1}{2}(U_n-\sqrt{2})^2\) et d'appliquer l'inégalité au rang \(n\) ce qui vate donner :
\(|U_{n+1}-\sqrt{2}|\le \frac{1}{2}(U_n-\sqrt{2})^2 \leq\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}(U_{n-1}-\sqrt{2})^2\) et de descendre ainsi de suite jusqu'à \(U_o\).

Ce n'est qu'une idée

Bonne continuation

[Maxime]

Bonjour,
Merci d'avoir répondu.

J'ai testé et ça ne semble pas marcher, ou alors j'ai fais des erreurs dans les calculs.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Maxime,

pour la question 5) il semble que tu aies fait une erreur ... rappel : |a| < b <=> -b < a < b (il n'y a pas de carré !).
question 6) : es-tu sure de la majoration ? Je trouve : \(|u_n - \sqr2|< \frac{1}{2^n}(u_0-\sqr2)\).

SoSMath.

[Maxime]

Bonjour,

pour la 5), je vous ai mis sur la mauvaise voix d'après la question précédente, et je m'en excuse. Il y a bien un carré (que je n'avais pas mis dans la question 4 en recopiant.)
D'où je pense qu'on a bien ce que j'avais écris.

Sinon, pour la 6, j'ai compris la première étape, mais j'ai du mal pour passer à la seconde.
Si j'ai bien compris, on a donc:

\(|U_{n+1}-\sqrt{2}|\le \frac{1}{2}(U_n-\sqrt{2})^2\)

\(\leq\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}(U_{n-1}-\sqrt{2})^2\)

\(\leq\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}(U_{n-2}-\sqrt{2})^2\)

\(\leq\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}(U_{n-3}-\sqrt{2})^2\)
etc...

Soit:
\(|U_{n+1}-\sqrt{2}|\leq\frac{1}{2^n}(U_{1}-\sqrt{2})^2\)
Et là je comprends pas pourquoi c'est \(U_0\) et pas \(U_1\), comme j'ai trouvé. Si on avait \(U_0\), on devrait avoir:
\(|U_{n+1}-\sqrt{2}|\leq\frac{1}{2^{n-1}}(U_{0}-\sqrt{2})^2\) Non ?

[SoS-Math(9)]

Maxime,

pour la question 6, je pense que le plus simple pour montrer ta majoration est de faire une récurrence.

SoSMath.

[Maxime]

Oui merci !!! Ca marche la récurrence :)

Ensuite pour la 7eme question, j'ai réussi à encadrer \(\sqrt{2}\), mais je ne comprends pas le "Conclure en donnant une condition suffisante"

Je me retrouve avec cet encadrement:
\(\frac{-1}{2^{2^n+1}}+U_n\le \sqrt{2}\le \frac{1}{2^{2^n+1}}+U_n\)

J'ai calculé jusqu'à \(U_4\) qui lui est presque correspondant à \(\sqrt{2}\) (enfin, les 9 premiers décimaux).
Mais je ne sais pas trop comment répondre à ca.

[SoS-Math(9)]

Maxime,

Si pour n = 4, tu as une précision de \(10^{-9}\), je pense que tu peux dire (à vérifier !) que pour n >= 5 que \(u_n\) est environ égale à \(\sqr2\).

SoSMath.

[Maxime]

Rebonjour.

Merci bien, j'ai fais des tests, mais je ne peux aller plus loin que 10^-9 (ma calculatrice n'affiche pas plus), mais le résultat le plus cohérent est pour tout n>=6.

Merci de m'avoir aidé pour cet exercice :)
Bonne soirée.

[SoS-Math(9)]

A bientôt,
SoSMath.