DM Suites [pour entrainement à la prépa]

[Anaïs]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice de math assez difficile, et je suis bloqué à une question, j'aimerais avoir un peu d'aide s'il-vous-plaît.

Voilà mon exercice:

Soit a, b, c et d quatre nombre réel (c différent de 0). On définit la suite \((U_n)_{n\in N}\) par:
\(U_0\in R\) et \(U_{n+1}=\frac{aU_n+b}{cU_n+d}\)
Et on suppose que, pour tout \(n\in N\), \(cU_n+d\ne0\).

Soit f la fonction définie sur \(R-(-\frac{d}{c})\) par \(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\)

1. Montrer que si \(ad-bc=0\), alors la suite \((U_n)_{n\in N}\) est constante à partir du rang 1.

-> J'ai étudié la dérivée et ça marche.

On suppose désormais \(ad-bc\ne 0\)

2. Interpréter graphiquement les solutions de l'équation:
\(x=\frac{ax+b}{cx+d}\) (E)

-> Je ne suis pas sûre, mais je pense qu'il peut y avoir soit 0 solution ou 1 solution ou 2 solutions.

3. Montrer que (E) est équivalente à une équation du second degré dont le discriminant \(\Delta\) vaut:
\(\Delta = (d+a)^2-4(ad-bc)\)

-> J'ai réussi également, en développant les 2 expressions de manière à arriver à un même résultat.

4. Étude des cas \(\Delta =0\) et \(\Delta >0\).

a. On suppose \(\Delta =0\) et on note \(\gamma\) l'unique solution de (E).

Soit \(U_0 \ne \gamma\). On pose \(V_n=\frac{1}{U_n-\gamma}\);
Montrer que \((V_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r=\frac{2c}{a+d}\)

-> Alors là, j'ai essayé de calculer \(V_{n+1}-V_n\) et en remplaçant du coup \(U_{n+1}\) par sa valeur donnée dans l'énoncé. J'ai aussi déduis que \(\gamma =\frac{d-a}{2c}\). Mais le développement... vraiment dur.C'est cette question qui me bloque tout.

b. On suppose \(\Delta >0\). On note \(\alpha\) et \(\beta\) les solutions distinctes de (E).

Soit \(U_0 \in \{\alpha , \beta \}\). On pose \(V_n=\frac{U_n-\alpha }{U_n-\beta }\).
Montrer que la suite \((V_n)\) est définie et géométrique et de raison \(q=\frac{c\beta +d}{c\alpha +d}\).

-> ... Je n'ai même pas réussi la question d'avant.

5. On définit la suite \((U_n)_{n\in N}\) par:
\(U_0=0\) et \(U_{n+1}=`frac{3U_n+2}{U_n+4}\).

Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} U_n=1\).



Voilà, si vous pouviez m'aider, je vous en remercierais énormément :).

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Effectivement c'est pas simple, et ce soir il est tard.
Demain, j'essaierai avec un peu plus de réussite j'espère.
sosmaths

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Pour la suite géométrique, quand \(\Delta>0\)Il suffit de remplacer \(\alpha\) par \(\frac{a\alpha+b}{c\alpha+d}\) et faire de même pour \(\beta\) dans le calcul de \(v_{n+1}\) et faire de même pour \(u_{n+1}\)
Les calculs sont un peu longs mais sont assez simples, on trouve bien la raison \(\frac{c\beta+d}{c\alpha+d}\).

Les calculs pour \(\Delta=0\) sont plus compliqués.

Bon courage

[SoS-Math(11)]

Pour \(\Delta = 0\)
Tu peux commencer par calculer \(V_{n+1}\) en remplaçant \(u_{n+1}\) par \(\frac{aU_n+b}{cU_n+d}\) et \(\gamma\) par \(\frac{a\gamma+b}{c\gamma+d}\).
Puis il faut se servir de \(\Delta = (d+a)^2-4(ad-bc)=0\) pour remplacer \(ad-bc\) et remplacer \(\gamma\) par son expression dans \(c\gamma+d\).
Ensuite calcule \(\frac{1}{u_n-\gamma}+\frac{2c}{a+d}\) et remplacer \(\gamma\) par son expression ce qui doit redonner l'expression de \(V_{n+1}\).

Bon courage pour tous ces calculs.

[Anaïs]

Bonsoir et merci bien de vos réponses. Je me suis penché beaucoup sur le cas \(\Delta =0\), et je suis bloqué encore une fois même en suivant vos conseils.

J'ai réussi à atteindre:
\(V_{n+1}=\frac{1}{\frac{(ad-bc)(U_n-\gamma )}{(cU_n+d)(c\gamma +d)}}\) Si j'ai faux, faîtes moi savoir ^^
Du coup on a \(\Delta =(d+a)^2-4(ad-bc)=0\)
Soit \(ab-bc=\frac{1}{4}(d+a)^2\)

J'ai donc continué en remplaçant aussi la valeur de \(\gamma\)

Soit \(V_{n+1}=\frac{1}{\frac{\frac{1}{4}(d+a)^2(U_n-\gamma )}{(cU_n+d)(c\frac{a\gamma +b}{c\gamma +d} +d)}}\)

Je pense que j'ai fais une erreur quelque part cependant...

Bref, après je ne comprend pas votre raisonnement pour "Ensuite calcule \(\frac{1}{u_n-\gamma}+\frac{2c}{a+d}\) et remplacer \(\gamma\) par son expression ce qui doit redonner l'expression de \(V_{n+1}\)."

J'ai essayé et je suis partis dans un développement trop important à mon goût pour que ce soit correct. De plus, je ne vois pas où cela nous mène de calculer cela à part.

Je vais essayé de faire pour \(\Delta >0\) en attendant.
Bonne soirée, je vous remercie d'avance de m'expliquer.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Anaïs,

Il doit y avoir des erreurs de calcul : je ne trouve pas \(V_{n+1}=\frac{1}{\frac{\frac{1}{4}(d+a)^2(U_n-\gamma )}{(cU_n+d)(c\frac{a\gamma +b}{c\gamma +d} +d)}}\). J'ai une réponse plus simple du genre \(\frac{(u_n+d)(c\gamma+d)}{(ad-bc)(u_n-\gamma)}\), qu'il faut encore simplifier.

Calculer \(V_n+\frac{2c}{a+d}\) pour retrouver \(V_{n+1}\) permet de prouver que la suite est arithmétique de raison \(\frac{2c}{a+d}\), or \(V_n=\frac{1}{U_n-\gamma}\).

D'autre part on a \(\gamma =\frac{a-d}{2c}\) et non pas \(\gamma =\frac{d-a}{2c}\). Ce qui permet de simplifier \(c\gamma+d=\frac{a+d}{2}\).
Je te souhaite bon courage pour les calculs. Je vais essayer de te donner un calcul complet si tu n'y arrive pas bien que ce ne soit pas mon rôle.

[Anaïs]

Bonjour, me revoilà.

J'avais bien \(V_{n+1}=\frac{(u_n+d)(c\gamma+d)}{(ad-bc)(u_n-\gamma)}\) quelques calculs précédents, sauf que j'ai trop développé.
Après je trouve d'après \(\Delta = (d+a)^2-4(ad-bc)=0\) que \(ad-bc=\frac{1}{4}(d+a)^2\)
Et avec le fait que \(c\gamma+d=\frac{a+d}{2}\), je me retrouve avec:
\(V_{n+1}=\frac{(cU_n+d)(\frac{a+d}{2})}{\frac{1}{4}(d+a)^2(U_n-\gamma)}\)

Ensuite je fais le fameux \(V_n+\frac{2c}{a+d}\).

On a donc: \(\frac{1}{U_n-\gamma}+\frac{2c}{a+d}=\frac{(a+d)+2c(U_n-\gamma )}{(U_n-\gamma )(a+d)}\)

\(=\frac{a+d+2cU_n-2c\gamma }{(U_n-\frac{a\gamma +b}{c\gamma +d})(a+d)}\)

\(=\frac{a+d+2cU_n-2c\gamma }{(\frac{cUn\gamma +U_nd-a\gamma -b}{c\gamma +d})(a+d)}\)

Et j'ai développé la partie du bas. Cependant, cela ne me semble pas juste depuis le début (j'ai peut-être pris la mauvaise formule de \(\gamma\) ? Sinon, j'aimerais juste une indication pour finir seule cette question, pas la solution complète (même si pour le moment vous m'avez beaucoup trop aidé, et je vous en remercie ^^).


J'ai réussi à faire la question b) sinon.

Bonne soirée.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Anaïs,

Bravo pour ta ténacité !
Il faut affiner le calcul de \(V_{n+1}\) : \(V_{n+1}=\frac{(cU_n+d)(\frac{a+d}{2})}{\frac{1}{4}(d+a)^2(U_n-\gamma)}= \frac{2(cU_n+d)}{(U_n-\gamma)(a+d)}\) en simplifiant par \(\frac{a+d}{2}\).

Pour le calcul de \(V_n+\frac{2c}{a+d}\) cela commence bien : \(\frac{1}{U_n-\gamma}+\frac{2c}{a+d}=\frac{(a+d)+2c(U_n-\gamma )}{(U_n-\gamma )(a+d)}\) mais ensuite en observant \(V_{n+1}\) on est amené à conserver \((U_n-\gamma)\) et on ne développe que le numérateur.
Ce qui donne : \((a+d)+2c(U_n-\gamma)=a+d + 2cU_n-2c\gamma=a+d+2cU_n-a+d=2cU_n+ 2d\) en remplaçant \(2c\gamma\) par \(a-d\).

Je te laisse finir, cela ne devrait pas te poser trop de problème.

Bon courage

[Anaïs]

Et bien, voilà, tout est fini ! Je vous remercie encore une fois de votre grande aide :) !

J'ai réussi la question b), et la 5 également sans de grande difficulté. C'était vraiment la ')a) qui posait problème.

Merci encore, bonne soirée.