Suites

[Chloé]

Bonjour, je m'appelle Chloé . Je suis en terminal S

J'ai un DM de maths à rendre . Voici le sujet .

Exercice1) Montrer par récurrence que :

1/(1*2) + 1/(1*3) + ...+ 1/n*(n+1) = n/ (n+ 1)

Donc j' ai commencé par l'initialisation : n= 1

1/n* (n+1) = 1/1*(1+1)= 1/2 Et n/n+1 = 1/(1+1)=1/2

Donc l'initialisation est vraie

Ensuite j'ai fais l'hérédité . Supposons le résultat acquis au rang n et montrons le au rang n+1

Donc j ai fais( n/(n+1))+ ( 1/ (n+1)(n+2)) puis j ai mis sur le même dénominateur .

Ce qui me donne a la fin n+1/n+2

Exercice 2) 1)montrer que l'équation d'inconnue x : x au carre - nx -1=0 , admet deux solutions notée Un et Vn

Donc j ai fais delta : je trouve( n au carré + 4) plus grand que 0

Ensuite mes deux solutions sont : Un :( n- (racine n au carré +4) /2) et Vn ( n+ ( racine n au carré + 4) /2)

Donc Un est plus petit que Vn

2) Ensuite il faut déterminer la limite des deux suites Un et Vn . Et c'est la que je bloque .
Pouvez vous m'aider ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Chloé,

Pour \(v_n\) la limte est assez simple ...

Pour \(u_n=\frac{n-\sqr{n^2+4}}{2}\) on a une forme indéterminée\((+\infty)-(+\infty)\), donc il faut modifier l'expression de \(u_n\).
Pour lever cette indéterminée, souvent avec les racines carrés, on utilise l'expression conjuguée de \((n-\sqr{n^2+4})\) qui est \((n+\sqr{n^2+4})\).
On mulitplie le numérateur et le dénominateur de la fraction par cette expression.
Donc \(u_n=\frac{(n-\sqr{n^2+4})(n+\sqr{n^2+4})}{2(n+\sqr{n^2+4})}\) ... à toi de terminer !

SoSMath.

[Chloé]

Merci beaucoup .

Je trouve lim Vn = + l'infini

Ensuite pour Un , j ai dis que c était de la forme ( à - b) au carre ( à+ b) au carré = a au carre - b au carré

Donc je trouve Un = 4/ ( 2*( racine n au carre + 4))

Donc lim Vn =0

[SoS-Math(9)]

Chloé,

tu dois trouver Un = -4/ ( 2*( n + racine (n² + 4)))

Et la limite est bien 0.

SoSMath.

[Chloe]

Oui exact .
Merci beaucoup