Système (corsé) de 2 équations

[Patrick]

Bonjour,
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) le système suivant :
\(\left{x^2+y^2=10\\x^3y+x^2y^2+xy^3=39\right.\)
Merci beaucoup pour la vérification...
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Comme ce système est symétrique en \(x\) et \(y\), pour chaque couple de solutions en \((x,y)\) on aura celui en \((y,x)\) ?
La 2ème ligne du système initial peut s'écrire : \(xy(x^2+y^2)+(xy)^2=39\quad\Longleftrightarrow\quad (xy)^2+10xy-39=0.\)
C'est une équation du second degré où le produit \(xy\) est l'inconnue.
\(\Delta=10^2-4\times(-39)=256=16^2.\)
Ce qui détermine les deux solutions pour \(xy\) : \(\left{(xy)_1=\dfrac{-10+16}{2}=3\\(xy)_2=\dfrac{-10-16}{2}=-13\right.\)

La 1ère ligne du système initial peut s'écrire : \(x^2+y^2=10\quad\Longleftrightarrow\quad(x+y)^2-2xy=10.\)
Si je remplace \(xy\) par les deux valeurs trouvées, j'obtiens :
\((x+y)^2-2\times 3=10\quad\Longleftrightarrow\quad(x+y)^2=16\quad\Longleftrightarrow\quad (x+y=4\) et \(x+y=-4).\)
\((x+y)^2-2\times(-13)=10\quad\Longleftrightarrow\quad(x+y)^2=-16,\) une égalité impossible dans \(\mathbb{R}.\)
Pour conclure, il reste donc à résoudre les deux systèmes somme-produit suivants :
\(\left{x+y=4\\xy=3\right.\) avec son équation caractéristique associée : \(X^2-4X+3=0\) avec un \(\Delta=4>0\)
Les deux solutions : \(X'=1\) et \(X''=3\) déterminent un couple de valeurs \((x,y)=(1;3).\)
\(\left{x+y=-4\\xy=3\right.\) avec son équation caractéristique associée : \(X^2+4X+3=0\) avec un \(\Delta=4>0.\)
Les deux solutions : \(X'=-1\) et \(X''=-3\) déterminent l'autre couple de valeurs \((x,y)=(-1;-3).\)
Mais comme le système est symétrique, les couples \((x,y)=(3;1)\) et \((x,y)=(-3;-1)\) sont aussi solutions du système initial ?
Donc l'ensemble des solution est : \(S=\left{(-3;-1),\,(-1;-3),\,(1;3),\,(3;1)\right}.\)

Je pense que c'est bon, mais j'attends vos remarques.
@+

[sos-math(20)]

Bonsoir Patrick,

Tout me semble correct, hormis une petite faute de rédaction :vous avez écrit à un moment de votre raisonnement "x+y=4 ET x+y=-4" alors que c'est " x+y=4 OU x+y=-4".

Bonne fin de journée.

SOS-math

[Patrick]

Merci et @+