Bonjour, j'ai un exercice à faire pour lundi mais je bloque sur la fin.
Énoncé :
A l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout entier n>=5, 2^n>=n^2
Ci-joint, ce que j'ai fait. Je n'arrive pas à démontrer grâce à l'hérédité.
Raisonnement par récurrence
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Eve
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sos-math(21)
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Re: Raisonnement par récurrence
Bonjour,
Ta démarche est correcte et il s'agit de compléter ton travail sur l'hérédité :
Commence par soustraire \(2^{n+1}-(n+1)^2=2(2^n-n^2)+2n^2-(n+1)^2\) j'ai factorisé une partie de l'expression pour faire apparaitre \(2^n-n^2\) dont on sait que c'est un terme positif (c'est l'hypothèse de récurrence) je te laisse améliorer le reste \(2n^2-(n+1)^2\) pour prouver que c'est aussi positif.
Finalement, \(2^{n+1}-(n+1)^2\geq 0\) et on aura prouvé la propriété au rang n+1.
Je te laisse rédiger tout cela.
Bon courage
Ta démarche est correcte et il s'agit de compléter ton travail sur l'hérédité :
Commence par soustraire \(2^{n+1}-(n+1)^2=2(2^n-n^2)+2n^2-(n+1)^2\) j'ai factorisé une partie de l'expression pour faire apparaitre \(2^n-n^2\) dont on sait que c'est un terme positif (c'est l'hypothèse de récurrence) je te laisse améliorer le reste \(2n^2-(n+1)^2\) pour prouver que c'est aussi positif.
Finalement, \(2^{n+1}-(n+1)^2\geq 0\) et on aura prouvé la propriété au rang n+1.
Je te laisse rédiger tout cela.
Bon courage