récurrence

[Lauriane]

Bonjour, j'ai un problème que je n'arrive pas à résoudre pour un devoir libre.

On considère une suite telle que Uo= pi/2, et Un+1=pi/ 2(n+1)Un.

Dans un premier temps il faut calculer les premiers termes, et je trouve U1= 1, U2= pi/4 et U3= 2/3.

Puis il faut montrer que Un+2 = (n+1/n+2)*Un. Je réalise donc un calcul en partant de Un+2 = pi/(2(n+1)*Un+1)...

Ensuite il faut exprimer U2n+2 en fonction de n et de U2n, je trouve donc U2n+2 =[(2n+1)/(2n+2)]*U2n

Enfin, il faut montrer par récurrence que U2n=[ (2n)!/(2^n * n!)²] * pi/2
Je réalise alors une récurrence à 2 pas, en initialisant pour n=0 en comparant U0 et pour n=1 en comparant U2,
mais je n'arrive pas à résoudre l'hérédité, en effet je suppose U2n et U2n+1 vraie et je veux montrer que U2n+2 =[(2(n+2))!/(2^(n+2) * (n+2)!)²] * pi/2,
je commence alors par U2n+2 =[ (2n+1)/(2n+2)] * U2n et j'obtient U2n+2 = ((2n+1)! / (2^(n+1) * (n+1)!)²] * pi/2

J'espère que l'exercice est assez claire en vue des notations utilisées...

Merci d'avance pour votre aide!

[SoS-Math(9)]

Bonjour Lauriane,

Ton exercice semble bien compliqué pour une terminale ...
De plus la récurrence "à deux pas" (que veux-tu dire ?) n'est pas utile ici !

Ton calcul " U2n+2 = ((2n+1)! / (2^(n+1) * (n+1)!)²] * pi/2 " est juste, mais il n'est pas terminé pour obtenir la forme recherchée !
Au numérateur, tu as (2n+1)! et tu veux (2n+2)! .... voici un peu d'aide : (2n+1)! * (2n+2) = (2n+2)!

A toi de terminer,
SoSMath.

[Lauriane]

En effet, je suis en prépa... je me suis permise de demander votre aide car j'ai confiance en ce site mais il n'est pas adressé à mon niveau...

Grâce à votre aide, j'arrive à obtenir le numérateur souhaité mais il me reste un souci pour le dénominateur...
En effet au dénominateur j'ai donc (2^(n+1) * (n+1)!)² que je multiplie par (2n +2). En factorisant (2n +2) j'ai donc 2(n+1), je peux alors mettre ensemble les 2 et obtenir 2^(n+2) mais il me reste (n+1)...

Merci encore!

[SoS-Math(9)]

Lauriane,

tu as au départ \(u_{2(n+1)}=\frac{2n+1}{2n+2}u_{2n}=\frac{2n+1}{2n+2}\times\frac{(2n)!}{(2^n n!)^2}\frac{\pi}{2}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(2n+2)^2}\times\frac{(2n)!}{(2^n n!)^2}\frac{\pi}{2}\)
soit \(u_{2n+2}=\frac{(2n+2)!}{[(2n+2)2^n n!]^2}\times\frac{\pi}{2}=\frac{(2n+2)!}{[2(n+1)2^n n!]^2}\times\frac{\pi}{2}=\frac{(2n+2)!}{[2\times 2^n (n+1)n!]^2}\times\frac{\pi}{2}= ...\)

SoSMath

[Lauriane]

ce qui donne U2n +2 =[ (2n +2)! / (2^(n+1) * (n+1)!)² ]* pi/2
le dénominateur n'est donc toujours pas celui recherché...
est-ce qu'il y a quelque chose que je fais mal ou que je devrais voir mais que je ne vois pas?

[SoS-Math(9)]

Lauriane,

Tu trouves le dénominateur que tu recherches !

\(u_{2n}=\frac{(2n)!}{(2^n n!)^2}\frac{\pi}{2}\)

Donc \(u_{2(n+1)}=\frac{(2(n+1))!}{(2^{n+1} (n+1)!)^2}\frac{\pi}{2}\) ... et c'est bien ce que tu trouves !

SoSMath.

[Lauriane]

J'ai trouvé!
Merci encore!