probabilité exercice de synthèse

[Manon]

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour réussir à résoudre cet exercice :

On dispose de deux urnes UA et UB. L’urne UA contient 3 boules noires et 2 boules
blanches ; l’urne UB contient 1 boule noire et 4 boules blanches. On choisit au hasard une urne et on tire une boule dans cette urne. Si on tire une boule blanche on la remet et on tire dans la même urne, si on tire une boule noire on la remet et on tire dans l’autre urne. On note pour tout entier naturel non nul n An l’événement : « le n-ième tirage a lieu dans l’urne UA »et on pose an=P(An).
1. Calculer la probabilité que les trois premiers tirages se fassent dans UA:
2. Soit n un entier, n supérieur ou égal à 2: Exprimer an en fonction de a(n-1) (en indice).
3. Calculer la probabilité de tirer une boule noire au deuxième tirage.
4. Sachant qu’on tire une boule noire au deuxième tirage, calculer la probabilité qu’on ait tirédans UA au premier tirage.

j'ai fait un arbre en dessinant d'abord deux branches Ua et Ub avec chacunes deux autres branches pour représenter les boules noires ou blanches. Mais je n'arruve pas à démarrer pour la premi_re question...merci!

[sos-math(12)]

Bonsoir :

Il me semble que les deux premières questions font appel à un schéma de bernoulli.
Ce n'est qu'à la question 3 qu'interviendra un arbre pondéré avec boules blanches et noires.

Bonne continuation.

[Manon]

1- donc que les trois boules tirées soient dans Ua soit (3 parmi 5) ou alors (3 parmi 5) + (2 parmi 5)+(1 parmi 5) ? je ne vois pas très bien

[sos-math(21)]

Bonsoir,
cet exercice ressemble un peu au premier que tu as envoyé et dépasse le niveau terminale :
Pour avoir les trois tirages il faut avoir choisi \(A_1\) donc \(P(A_1)=\frac{1}{2}\)
Ensuite, sachant qu'on est dans l'urne A, il faut avoir tiré une boule blanche pour retirer dans A donc \(P(A_2)=P_{A_1}(Bl)=\frac{2}{5}\)
De même, pour retirer une troisième fois dans A, il faut avoir tiré une boule blanche \(P(A_3)=P_{A_1\cap A_2}(Bl)=\frac{2}{5}\)
Il te reste à faire le produit des 3...
Pour avoir un tirage dans l'urne A au rang n+1, il faut :
-soit avoir tiré une boule blanche dans l'urne A au n-ième tirage ;
- soit avoir tiré une boule noire dans l'urne B au n-ième tirage ;
on a donc \(A_{n+1}=\left(A_n\cap Bl\right)\cup\left(\bar{A_n}\cap N\right)\)
Donc en passant aux probabilités sachant que ces deux événements sont incompatibles :
\(P(A_{n+1})=P\left(A_n\cap Bl\right)+P\left(\bar{A_n}\cap N\right)\) donc en passant aux probabilités conditionnelles :
\(P(A_{n+1})=P(A_n)\times P_{A_n}(Bl)+P(\bar{A_n})\times P_{\bar{A_n}}(N)\)
donc \(P(A_{n+1})=\frac{2}{5}P(A_n)+\frac{1}{5}\times(1-P(A_n))\)
Je te laisse terminer pour trouver \(P(A_{n+1})\) en fonction de \(P(A_n)\)
Tu fais un "décalage" pour obtenir \(a_n\) en fonction de \(a_{n-1}\)
Pour les deux questions d'après, tu peux t'aider d'un arbre.
Bon courage
A bientôt sur sos-math

[Manon]

d'accord merci donc :

a) ok

b) P(An+1)=2/5P(An)+1/5-1/5P(An)=1/5(An)+1 comment ça un décalage?

c) "j'ai fait un arbre en dessinant d'abord deux branches Ua et Ub avec chacunes deux autres branches pour représenter les boules noires ou blanches. " cet arbre est il correct pur répondre aux autres questions?

[sos-math(21)]

Re-bonsoir,
tu as écrit :

P(An+1)=2/5P(An)+1/5-1/5P(An)=1/5(An)+1

, c'est plutôt : \(P(A_{n+1}=\frac{1}{5}P(A_n)+\frac{1}{5}\) soit \(a_{n+1}=\frac{1}{5}a_n+\frac{1}{5}\), avec les notations de l'énoncé.
Comme on veut \(a_n\) en fonction de \(a_{n-1}\), on "décale" : \(a_{n}=\frac{1}{5}a_{n-1}+\frac{1}{5}\)
On retombe encore sur une suite arithmético-géométrique.
Un arbre avec deux branches Ua et Ub, puis avec les compositions de chaque urne au bout de ces branches mais il faut faire cela une deuxième fois avec la condition de garder ou de changer l'urne : tu dois avoir 8 embranchement à la fin.
Bon courage pour cette mise en œuvre
A bientôt sur sos math

[Manon]

j'ai du mal à faire l'arbre :

Deux premières branches : Ua et Ub de probas resp 0.5
De Ua: deux autres branches N et B avec pour proba resp 3/5 et 2/5
De N deux autres branches avec ?
De B deux autres avec pour proba resp 3/5 et 2/5

De Ub: deux autres branches N et B avec pour proba resp 1/5 et 4/5
De N deux autres branches avec ?
De B deux autres avec pour proba resp 1/5 et 4/5

[sos-math(21)]

Je te cite :

j'ai du mal à faire l'arbre :

Deux premières branches : Ua et Ub de probas resp 0.5
De Ua: deux autres branches N et B avec pour proba resp 3/5 et 2/5
De N deux autres branches avec ? le contenu de l'urne Ub avec N : 1/5 et B : 4/5
De B deux autres avec pour proba resp 3/5 et 2/5

De Ub: deux autres branches N et B avec pour proba resp 1/5 et 4/5
De N deux autres branches avec ? le contenu de l'urne Ua avec N : 3/5 et B :2/5
De B deux autres avec pour proba resp 1/5 et 4/5

Bonne nuit

[Manon]

ok donc je réponds aux deux derni_res :

3- la proba de tirer une boule noire au deuxième tirage est : 1/2*3/5+1/2*1/5
et pour l'autre ok merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
l'arbre que l'on a construit ensemble possède trois embranchements donc il doit y avoir 3 fractions qui se multiplient pour chaque chemin :
\(\frac{1}{2}\times\frac{\ldots}{5}\times\frac{\ldots}{5}\)
Tu dois avoir deux chemins qui mènent à deux tirages de boules noires ; reprends cela.
Bon courage