Bonjour,
Je bloque sur un QCM(je ne comprends la correction)
On donne ': la suite (Un) est definie pour n different de 0 par Un= sin n - (1/n)
J'ai répondu qu'elle n'est pas bornée mais la bonne réponse est qu'elle est minorée par -2 et majorée par 1 ( est ce qu'il suffit de chercher un encadrement de chaque suite 1/n et sinn et d'additionner leur minorant?)
Et '
La suite Un est définie par Un+1=Un(1-Un) et Uo =0,5
J'ai répondu qu'elle converge vers 0 mais je ne vois pas pourquoi elle est décroissante (on ne peut pas montrer cela par récurrence puisqu'il faut multiplier par Un et qu'on ne connait pas le signe de Un)..
Merci
Suites
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sos-math(21)
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Re: Suites
Bonsoir
Pour ta première question, il est utile de regarder fonction associée \(f(x)=\sin(x)+\frac{1}{x}\) sur \([1\,;\,+\infty[\)
Pour tout x de cet intervalle, on a \({-1}\leq\sin(x)\leq 1\) et \({-1}\leq-\frac{1}{x}\leq 0\)
Si tu additionnes ces deux encadrements, tu as bien \({-2}\leq f(x)\leq 1\) pour tout x dans \([1\,;\,+\infty[\) , donc ce qui est vrai pour la fonction est vrai pour la suite définie par \(u_n=f(u_n)\).
Pour la deuxième question, il faut aussi étudier la fonction définie par \(f(x)=x(1-x)\)
Si tu dérives cette fonction, tu as \(f^{,}(x)=1-2x\) donc l'étude du signe de la dérivée donne que f est croissante sur \(]-\infty\,;\,\frac{1}{2}]\) et qu'elle est décroissante sur\([\frac{1}{2}\,;\,+\infty[\)
On a alors \(u_1=f(u_0)=0,25\leq u_0\).
Ensuite on montre par récurrence la propriété \(\mathcal{P}_n \,:\, \forall n\in \mathbb{N}, \, u_{n+1}\leq u_n\leq 0,5\).
La propriété est vraie au rang n=0, car on a bien \(u_1\leq u_0\leq 0,5\)
Pour un rang n quelconque, si on suppose que \(\mathcal{P}_n\) est vraie alors on a \(u_{n+1}\leq u_n\leq 0,5\)
Comme la fonction f est croissante sur \(]-\infty\,;\,\frac{1}{2}]\), alors on a \(f(u_{n+1})\leq f(u_n)\leq f(0,5)\) une fonction croissante respecte l'ordre ; on a alors :
\(u_{n+2}\leq u_{n+1}\leq 0,25 \leq 0,5\) donc \(P_{n+1}\) est vraie et l'hérédité est prouvée.
Ainsi par récurrence, la propriété est vraie pour tout n.
J'espère avoir éclairci ces deux points.
Bon courage pour les révisions
Pour ta première question, il est utile de regarder fonction associée \(f(x)=\sin(x)+\frac{1}{x}\) sur \([1\,;\,+\infty[\)
Pour tout x de cet intervalle, on a \({-1}\leq\sin(x)\leq 1\) et \({-1}\leq-\frac{1}{x}\leq 0\)
Si tu additionnes ces deux encadrements, tu as bien \({-2}\leq f(x)\leq 1\) pour tout x dans \([1\,;\,+\infty[\) , donc ce qui est vrai pour la fonction est vrai pour la suite définie par \(u_n=f(u_n)\).
Pour la deuxième question, il faut aussi étudier la fonction définie par \(f(x)=x(1-x)\)
Si tu dérives cette fonction, tu as \(f^{,}(x)=1-2x\) donc l'étude du signe de la dérivée donne que f est croissante sur \(]-\infty\,;\,\frac{1}{2}]\) et qu'elle est décroissante sur\([\frac{1}{2}\,;\,+\infty[\)
On a alors \(u_1=f(u_0)=0,25\leq u_0\).
Ensuite on montre par récurrence la propriété \(\mathcal{P}_n \,:\, \forall n\in \mathbb{N}, \, u_{n+1}\leq u_n\leq 0,5\).
La propriété est vraie au rang n=0, car on a bien \(u_1\leq u_0\leq 0,5\)
Pour un rang n quelconque, si on suppose que \(\mathcal{P}_n\) est vraie alors on a \(u_{n+1}\leq u_n\leq 0,5\)
Comme la fonction f est croissante sur \(]-\infty\,;\,\frac{1}{2}]\), alors on a \(f(u_{n+1})\leq f(u_n)\leq f(0,5)\) une fonction croissante respecte l'ordre ; on a alors :
\(u_{n+2}\leq u_{n+1}\leq 0,25 \leq 0,5\) donc \(P_{n+1}\) est vraie et l'hérédité est prouvée.
Ainsi par récurrence, la propriété est vraie pour tout n.
J'espère avoir éclairci ces deux points.
Bon courage pour les révisions
-
Emilie
Re: Suites
Merci beaucoup c'est plus clair!