étude fonction sinus

[eleve86]

Bonjour,
j'ai un exercice qui consiste en l'étude d'une fonction : f(x)=sin(3x)-3sin(x)
Dans un premier temps, j'ai prouvé qu'elle était 2pi-périodique et impaire ce qui limite l'étude à l'intervalle [0;pi].
Mais j'ai un problème pour trouver la dérivée pour ensuite trouver les variations de la fonction.
Je sais que la dérivée de sin(x)= cos(x). Donc pour dériver -3sin(x) : -3cos(x). Mais pour sin(3x)?
Merci d'avance!

[SoS-Math(11)]

Bonjour Lauriane,

Il me semble qu'en première on voit la propriété suivante : la dérivée de la fonction définie par la formule \(f(ax+b)\) est égale à \(a\times f^,(ax+b)\), sinon je te la donne (sans explications).
Tu applique cette propriété à \(sin(3x)\) et cela devrait fonctionner.

Bon courage et à bientôt sur le forum

[eleve86]

Effectivement...!
Merci beaucoup!!!

[eleve86]

J'obtiens donc f'(x)= 3cos(3x)-3cos(x) = 3[cos(3x)-cos(x)],
je sais que cos(3x)-cos(x)=0 pour x=0, x=pi/2 et x=pi ; ainsi que cos(3x)<cos(x) pour x appartient à [0;pi/2] et cos(3x)>cos(x) pour x appartient à [pi/2;pi] en observant le cercle trigonométrique mais je ne sais pas comment le démontrer...

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Lauriane,


Tu dois distinguer deux cas :
1) \(0<x\leq\frac{\pi}{2}\) pour lequel la fonction cosinus est décroissante, donc pour \(x<\frac{\pi}{6}\) tu as cos(3x)<cos(x) d'où le signe de la dérivée puis cos(3x) est négatif et tu peux en déduire la signe de la dérivée.
2) \(\frac{\pi}{2}\leq x \leq \pi\) en partageant de \(\frac{\pi}{2}<x<\frac{5\pi}{6}\)où cos(3x) est positif et cos(x) négatif puis \(\frac{\pi}{2}<x<\pi\) où \({-1} < cos(x) < {-\frac{sqrt {3}}{2}}\).
Tu as alors le signe de la dérivée et tu peux construire le tableau des variations de ta fonction.

Bonne continuation

[eleve86]

Merci encore!