continuité

[eleve86]

Bonjour, j'ai encore une question...

Cette fois si le but est de trouver l'unique solution sur [o;plus infini] de x+x^2+x^3+...+x^n = 1

Après plusieurs calculs je trouve une formule que j'ai appelé f : f(x)= x*[(1-x^n)/(1-x)]
Comme il faut que je trouve une solution unique je suppose qu'il faut que j'arrive à un tableauè de variation pour utiliser le théorème des valeurs intermédiaires...
J'ai donc essayé de calculer la dérivée de f...
la dérivée de x est 1; la dérivé de (1-x^n)/(1-x) est [(-n*x^(n-1)+(n-1)*x^n) +1 ] / (1-x)^2 donc f'(x) = [(-n*x^(n-1)+(n-1)*x^n) +1 ] / (1-x)^2 ???
Mais après pour trouver le signe de la dérivée je suis bloquée, le dénominateur est toujours positif et égal à zéro pour x =1, mais pour le numérateur?

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

Je voudrais savoir s'il faut trouver la solution ou s'il faut montrer qu'elle existe et est unique. Je pencherais pour l'existence et l'unicité.
Si c'est ça tu te complique la vie...
Appelle f(x)=x+x²+x^3+...+x^n
Ensuite ne transforme pas f(x) comme tu l'as fait. C'est juste mais ça complique.
Calcule la dérivée de f(x) directement, tu trouveras qu'elle est positive sur [0, + infini[.
Après il suffit d'appliquer le théorème des Valeurs intermédiaires.

sosm

[eleve86]

Ah oui je vois, c'est vrai que c'est beaucoup plus simple comme cela, Merci beaucoup :)

[SoS-Math(4)]

A bientôt
sosmaths