Calcul d'aire par encadrement

[eleve19]

Bonjour,
J'ai du mal a faire un raisonnement par recurrence dans un exercice, l'enonce est le suivant :
Dans un repere on a la courbe representant la fonction f definie par f(x)=x^2
On souhaite determiner l'aire A de la partie du plan delimitee par l'axe (Ox), la courbe Cf, les droites d'equations x=0 et x=1.
On divise l'intervalle [0;1] en n intervalles egaux, on remarque que A est compris entre une aire Un et une aire Vn( il y a des figures pour illustrer mais je ne sais pas comment les decrire). Les points Bo, B1, B2,...,Bn de l'axe Ox ont pour abscisse 0,1/n,2/n,...,1. Les points C0,C1,...,Cn ont les memes abscisses que B0,B1,...

Dans une premiere question j'ai demontre que Un, l'aire obtenue en considerant la somme des aires des rectangles de largeur [BpBp+1] et de hauteur [BpCp] pour p variant de 0 a n-1 est egale a :
1/n * la somme pour p variant de 0 a n-1 de (p^2/n^2)

Maintenant, il faut montrer par recurrence que Un=((n-1)n(2n-1))/(6n^2)

Des l'initialisation , je suis bloquee. Si l'on remplace n par 1 dans ce que l'on doit demontrer, on trouve bien U1,
mais si l'on rempace n par 2, on trouve 1/4 or U2 n'est pas egal a 1/4. U2 = (1/2) * ((0^2/1^2)+(1^2/2^2)) ce qui donne 1/8 et non 1/4.
Pouvez vous m'aider? Merci

[sos-math(22)]

Bonjour,

As-tu étudié précédemment, dans un autre exercice ou en cours,
\(1^2+2^2+3^2+...+2^n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) ?

Si oui, tu peux utiliser le résultat ; sinon, je te conseille de commencer par le démontrer.

Ensuite, tu feras attention : Un=1/n * la somme pour p variant de 0 à n-1 de (p^2/n^2)
La somme va de 0 à n-1 (et non n).

Enfin, es-tu sûre de ta formule par récurrence : Un=((n-1)n(2n-1))/(6n^2)
Ne faut-il pas plutôt diviser par 6n^3 ???

Bonne continuation.

[eleve19]

Bonsoir,
Effectivement j'avais fait la demonstration par recurrence pour la somme des entiers au carre dans un exercice et j'ai pu demontrer que Un=(( n-1)n(2n-1))/(6n^3). Je pense qu'il y donc une erreur dans l'enonce pour la formule de recurrence (de denominateur 6n^3).
En revanche j'ai toujours le meme probleme, je ne comprends pas comment appliquer la premiere formule Un=(1/n)*la somme pour p variant de 0 a n-1 des (p^2/n^2).
Par exemple pour calculer U3, comment faire? U3 est la somme des aires des rectangles au point B2, dans la formule le (1/n) est en facteur commun donc il est le meme quelque soit le rang, non? Faut il a chaque fois remplacer n par le rang ? Si oui pourquoi?
D'autre part si p varie de 0 a n-1, cela veut dire qu'au rang n=1 qui est le premier rang car n est un entier different de 0,p=0, n'est ce pas?

Merci

[sos-math(22)]

Bonjour,
1/n correspond à la largeur de chaque rectangle. Le segment [0;1] est donc divisé en n segments de longueurs 1/n. On a donc n rectangles (de 0 à n-1) de largeur 1/n. Par exemple, pour \(U_4\), il y a quatre rectangles de largeur \(\frac{1}{4}\) chacun. Plus n est grand plus la largeur des rectangles est petite. Bonne continuation.

[eleve19]

Bonjour,
Merci de votre réponse