Bonjour, voici l'énoncé d'un exercice que j'ai du mal à résoudre : en effet n'y arrivant pas à la question a), je ne peux faire le reste qui me semble pourtant à ma portée :
Soit P le polynôme de la variable complexe z défini par P(z) = z^3 +2(1-i)z²+(1-4i)z-2i
a) Calculer le réel alpha tel que P(ialpha) =0
Merci d'avance et à bientôt .
Polynôme dans C
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sos-math(22)
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Re: Polynôme dans C
Bonsoir, Il te suffit de remplacer \(z\) par \(i \alpha\).
Je t'aide à commencer. Par exemple :
\((i \alpha)^3=i^3 \times \alpha^3=-i \alpha^3\).
Tu devrais ensuite pouvoir déterminer \(\alpha\).
Bonne continuation.
Je t'aide à commencer. Par exemple :
\((i \alpha)^3=i^3 \times \alpha^3=-i \alpha^3\).
Tu devrais ensuite pouvoir déterminer \(\alpha\).
Bonne continuation.
Re: Polynôme dans C
Bonjour, J'ai effectivement commencé dans cette voie mais je ne vois pas comment trouver alpha avec les i ...
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sos-math(22)
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Re: Polynôme dans C
Bonsoir,
Précise les détails de tes calculs afin que je puisse t'aider car ta question est trop vague.
Bonne continuation.
Précise les détails de tes calculs afin que je puisse t'aider car ta question est trop vague.
Bonne continuation.
Re: Polynôme dans C
P(z) = z^3 +2(1-i)z²+(1-4i)z-2i
Je remplace z par ialpha :
ialpha^3 + 2(1-i)(ialpha)² + (1-ai)(ialpha)-2i = 0
<=> ialpha^3 + (2-2i) multiplié par -alpha + ialpha - 4i²alpha - 2i
<=> ialpha^3 -2alpha + 2ialpha + i alpha + 4i²alpha - 2i
<=> ialpha ^3 - 2alpha + 3 ialpha - 4alpha -2i
<=> -ialpha^3 - 6 alpha + 3 ialpha -2i
J'en suis ici !
Je remplace z par ialpha :
ialpha^3 + 2(1-i)(ialpha)² + (1-ai)(ialpha)-2i = 0
<=> ialpha^3 + (2-2i) multiplié par -alpha + ialpha - 4i²alpha - 2i
<=> ialpha^3 -2alpha + 2ialpha + i alpha + 4i²alpha - 2i
<=> ialpha ^3 - 2alpha + 3 ialpha - 4alpha -2i
<=> -ialpha^3 - 6 alpha + 3 ialpha -2i
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sos-math(22)
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Re: Polynôme dans C
Il me semble que tu as oublié un carré (voir en rouge ci-dessous) :
ialpha^3 + (2-2i) multiplié par -alpha² + ialpha - 4i²alpha - 2i
Il te faut donc reprendre tes calculs.
Il te faudra isoler partie réelle et imaginaire.
Bonne continuation.
ialpha^3 + (2-2i) multiplié par -alpha² + ialpha - 4i²alpha - 2i
Il te faut donc reprendre tes calculs.
Il te faudra isoler partie réelle et imaginaire.
Bonne continuation.
Re: Polynôme dans C
En effet, vous avez raison je trouve désormais :
ialpha^3 + (2-2i) multiplié par -alpha² + ialpha - 4i²alpha - 2i =0
<=> ialpha^3 - 2alpha² + 2ialpha² + ialpha + 4alpha - 2i =0
<=> - 2 alpha² + 4 alpha + i(-alpha^3 + 2alpha²+alpha-2) =0
ialpha^3 + (2-2i) multiplié par -alpha² + ialpha - 4i²alpha - 2i =0
<=> ialpha^3 - 2alpha² + 2ialpha² + ialpha + 4alpha - 2i =0
<=> - 2 alpha² + 4 alpha + i(-alpha^3 + 2alpha²+alpha-2) =0
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sos-math(21)
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Re: Polynôme dans C
Bonjour,
En développant, on trouve effectivement :
\(4\alpha-2\alpha^2+i(-\alpha^3+2\alpha^2+\alpha-2)=0\)
Vérification faite avec un logiciel de calcul formel.
Bonne continuation
En développant, on trouve effectivement :
\(4\alpha-2\alpha^2+i(-\alpha^3+2\alpha^2+\alpha-2)=0\)
Vérification faite avec un logiciel de calcul formel.
Bonne continuation
Re: Polynôme dans C
Sachant que la question est : Calculer le réel alpha tel que P(ialpha) =0
Comment calculer alpha maintenant ?
Comment calculer alpha maintenant ?
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sos-math(22)
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Re: Polynôme dans C
Bonjour,
Tu sais qu'un nombre complexe est nul si et seulement sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. Bonne continuation.
Tu sais qu'un nombre complexe est nul si et seulement sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. Bonne continuation.