Fonction suite à un tableau de variation

[Julie]

Soit f une fonction dont le tableau de variations incomplet est le suivant; on désigne par f' la fonction dérivée de la fonction f.


x - l'infini -3 -1 1 + l'infini
//
Signe de f'(x): + 0 - // - 0 +
//
Variation de f: (-l'infini)croiss(-6)décroiss(?) // (+l'infini)décroiss(2)croiss(?)




On admet que f est définie sur ]-l'infini;1[ U ]-1;+l'infini[
par f(x) = ax + b + ( c / (x+1) )

où a , b et c sont des réels.

1) Calculer f'(x) en fonction de a, b , c .

2) En vous aidant des informations contenues dans le tableau de variations ci-dessus montrer que l'on a a=1,b=-1 et c=4.

3) Déterminer les limites manquantes dans le tableau.

4) Montrer que la courbe Cf de la fonction f admet comme asymptote la droite D d'équation y=x-1 lorsque x tend vers +l'infini ou vers - l'infini . Etudier la position relative de la courbe Cf et de son asymptote D.



1) f'(x) = a - ( c / (x+1)² )

2) Je ne sais pas du tout définir des réels à partir d'un tableau de variation ....

3) Je trouve comme limites manquantes

lim f(x) = - l'infini
quand x tend vers - 1
quand x <-1

lim f(x) = +l'infini
quand x tend vers +l'infini

4) Je ne sais pas comment démontrer qu'une courbe admet une asymptote. Et je pense savoir que étudier la position relative d'une courbe c'est étudier si l'asymptote est au-dessus ou en-dessous de la courbe selon si c'est -l'infini ou +l'infini.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
D'après ton tableau de variation, \(f^{\prime}(-3)=0\) : cela te donne une équation d'inconnues a et c ;
même chose pour \(f^{\prime}(1)=0\) : tu as donc deux équations à deux inconnues : système !
Ensuite tu fais pareil avec les images f(-3)=-6 : équation d'inconnues a,b et c;
et f(1)=2 .
Pour les asymptotes tu formes la différences \(f(x)-(x-1)\) (il faudra sûrement "arranger" cette expression) et tu regardes les limites de cette expression en + et/ou - l'infini

[Julie]

Le truc c'est que je ne comprend pas comment remplacer b dans la premiére équation en fait je ne sais pas à quoi correspond les imaes de cacune des f' ou des f .
Et donc pour l'asymptote cela me donnerait l'équation avec les a b c mais remplacé par leurs résultats moins ( x-1) et selon les limites l'asymptote se trouve au dessus ou en dessous de la fonction ? c'est cela ?
Mais donc en faisant la soustraction je dois obtenir x-1 ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je te donne un exemple :
tu as calculé que la dérivée de f était \(f^{\prime}(x)=a-\frac{c}{(x+1)^2}\),
Or on voit que dans le tableau de variation \(f^{\prime}(-3)=0\) donc \(a-\frac{c}{(-3+1)^2}=0\) soit \(a-\frac{c}{4}=0\) donc 4a-c=0 soit c=4a ;
à toi de faire pareil pour la deuxième valeur de f' et ensuite tu auras une deuxième équation qui te permettra de retrouver a et c.

[Julie]

Merci , pour les réels j'ai réussi .

Pour la question 4 : f(x)-(x-1) = ( x-1+(4/x+1))-(x-1)
Je trouve donc comme expression finale 4/(x+1)

J'étudie donc ensuite les limites de l'expression ce qui me donne en + ou en - l'infini 0 comme limite.
Donc peu importe les variations de valeurs l'asymptote reste toujours au même endroit . C'est cela ?

Merci encore.

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
votre raisonnement est juste. Et la courbe a bien la même droite comme asymptote en -inf et +inf
A bientôt sur SoS-Math

[Julie]

Merci encore et à bientôt.