Récurrence

[Julie]

Bonjour, pourriez vous me guider dans cet exercice ?

Il s'agit d'un suite (Un) définie sur N par : Uo=1/8 et Un+1=Un(2-Un)
1) Soit la fonction f définie sur [0;2] par f(x)=x(2-x). Justifier que pour tout x E [0;1] , f(x) E [0;1]
2) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 < Un < 1
3) Il existe une suite (Vn) définie sur N par : Vn= 1- Un
a) exprimer Vn+1 en fonction de Vn
b) Conjecturer l'expression de Vn en fonction de n et de Vo

Ce que j'ai fait :

1) J'ai fait le tableau de variation pour montrer que 1 est un maximum atteint en 1 et que la fonction est strictement croissante. Mais comment montrer que c'est à partir de 0 que f(x) E [0;1].
2) Initialisation : 0 < Uo < 1 et Uo = 1/8
Hérédité : Je suppose que 0 < Un < 1 et je démontre que 0 < Un+1 < 1 donc que 0 < Un(2-Un) < 1 . Comment m'y prendre ?
3) a) Vn+1 = Vn + r si la suite est arithmétique
Vn+1 = Vn x q si la suite est géométrique . Dois-je donc bien rechercher la nature de la suite et sa raison ?
b) Vn = Vo+nr si la suite est arithmétique
Vn = Vo x qr si la suite est géométrique
Dailleurs on trouve que Vo =7/8 par le calcul donc il faut juste trouver la raison ?

[sos-math(22)]

Bonjour Julie,

Je recopie tes réponses indicatives et commente en rouge :

1) J'ai fait le tableau de variation pour montrer que 1 est un maximum atteint en 1 et que la fonction est strictement croissante. Mais comment montrer que c'est à partir de 0 que f(x) E [0;1].
C'est bien mais précise bien que f est croissante sur l'intervalle [0;1]. En fait on cherche à montrer que l'image de l'intervalle [0;1] par f est [0;1]. On dit que cet intervalle est stable par f. Pour cela, il te suffit d'utiliser le tableau de variation que tu as obtenu.

2) Initialisation : 0 < Uo < 1 et Uo = 1/8
Hérédité : Je suppose que 0 < Un < 1 et je démontre que 0 < Un+1 < 1 donc que 0 < Un(2-Un) < 1 . Comment m'y prendre ?
En remarquant que \(U_{n+1}=f(U_n)\) et en utilisant la stabilité de [0;1] par f.

3) a) Vn+1 = Vn + r si la suite est arithmétique pour tout n
Vn+1 = Vn x q si la suite est géométrique . ouiDois-je donc bien rechercher la nature de la suite et sa raison ? Calcul \(V_{n+1}\) en fonction de \(V_n\) comme cela est demandé et tu verras bien...

b) Vn = Vo+nr si la suite est arithmétique
Vn = Vo x qr si la suite est géométrique
Dailleurs on trouve que Vo =7/8 par le calcul donc il faut juste trouver la raison ?

Bonne continuation.

[Julie]

En remarquant que Un+1=f(Un) et en utilisant la stabilité de [0;1] par f.

C'est à dire qu'il faut que j'utilise la relation Un+1=Un(2-Un) et le fait que Un+1 est stable c'est à dire comprise entre 0 et 1 ? Je ne vois pas comment l'exploiter

Pour la question 3, oui il faut que je calcule Vn+1 en fonction de Vn. Donc Vn+1 = Vn x q. Je dois calculer q c'est à dire la raison :
Vn+1/Vn = 1-2Un+Un²/1-Un
Mais je n'arrive pas à le simplifier ! J'ai fait une erreur ?

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Pour la récurrence (hérédité), on utilise la propriété sur f : si \(x\in[0,1]\), alors \(f(x)\in[0,1]\).
Donc si l'on suppose que \(u_n\in[0,1]\), alors \(f(u_n)\in[0,1]\). Et comme on voit que \(u_{n+1}=f(u_n)\), alors on a \(u_{n+1}\in[0,1]\), d'où la propriété vraie au rang n+1.

Pour la suite \((v_n)\) :
pars de \(v_{n+1}=1-u_{n+1}=1-u_n(2-u_n)=1-2u_n+u_n^2\) et là tu reconnais une identité remarquable.

[Julie]

Bonsoir,

Il suffisait donc simplement de prouver ainsi que la propriété est vraie au rang n+1 pour affimer que 0 < Un < 1 ! Il n'était donc pas necessaire d'appliquer les 3 étapes : initialisation, hérédité et conclusion ?!

Je n'avais pas pensé à développer !
Donc Vn+1 = (Un-1)² = - (-Un+1)² = - Vn² s'il n'y a pas d'erreur ?

Toutefois je ne vois pas comment trouver l'expression de Vn. Je sais juste que Vo vaut 7/8.

[sos-math(22)]

Bonsoir Julie,

Tu dis : <<Il n'était donc pas nécessaire d'appliquer les 3 étapes : initialisation, hérédité et conclusion ?! >>

ABSOLUMENT PAS !!

Tu dois absolument appliquer les trois étapes comme cela t'a été expliqué en classe.

Nous t'avons apporté précédemment une aide pour l'hérédité. A toi, d'écrire correctement les autres étapes.

Sinon, pour l'expression de \(V_{n+1}\) en fonction de \(V_n\), tu as fait une faute de signe.

Bonne continuation.

[Julie]

Ah daccord, je vois.
Il n'y a pas eu de calcul au niveau de la démonstration avec Un+1, contrairement à d'habitude ça m'a géné, mais il n'y en a bien pas besoin vu qu'on doit résonner sur le probleme d'intervalle ?

Concernant l'expression de Vn+1 : le tout doit être élevé au carré donc : Vn+1= Vn²
J'ai réussi à faire la derniere question, je ne pense pas qu'il y ait encore de zones d'ombres.

Merci pour votre patience !

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Il n'y a pas toujours de calcul explicite pour une hérédité, cela peut être la réutilisation d'une propriété prouvée auparavant. Ok pour le calcul de \(v_n\)
Bon courage

[Julie]

Et ce n'est pas toujours trés simple malheuresement !
Merci beaucoup pour votre aide !

[sos-math(22)]

Bonne continuation.