Bonjour ,j'aurai besoin d'un peu d'aide pour un des exercices de mon dm.
Voici l'énoncé :
f est une fonction croissante sur [ 0 ;+inf [ et lim f(x) = 2 quand c tend vers + inf.
Démontrer que pour tout x> ou = 0, f(x) < ou = 2.
Mon professeur m'a donné quelques indications : Raisonner par l'absurde de cette façon, supposer qu'il existe un réel a > ou = 0 tel que f(a) > 2.
Utiliser la définition d'une fonction croissante pour en déduire une conséquence.
Justifier qu'il existe un réel Epsilon > 0 tel que f(a) > 2 + Epsilon.
Prouver alors que, pour tout réel x > ou = a, f(x) > 2 + Epsilon.
Etablir une contradiction avec une hypothèse de l'énoncé.
Ce que j'ai fait :
Quelques schéma pour essayer de voir essayer de comprendre cette démarche, malheureusement, je ne vois pas comment je peux supposer qu'il existe un réel a > ou = 0 tel que f(a) = 2 parce que la limite de cette fonction est 2.
Comment justifier qu'il existe un réel Epsilon > 0 tel que f(a) > 2 + Epsilon ? ET comment proucer que pour tout réel x > ou = a , f(x) > 2 + Epsilon ?
Je m'excuse d'en demandé autant de votre part, et je vous remercie de m'aider pour cette exercice.
Robert.
Dm de math TS
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Robert
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sos-math(21)
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Re: Dm de math TS
Bonsoir,
Pour raisonner par l'absurde il faut considérer comme vraie le contraire de ce que tu veux montrer et établir une contradiction.
Le contraire de " pour tout réel \(a\geq\,0,\, f(a)\leq2\)" est "il existe un réel \(a\geq\,0,\, f(a)>2\).
Etre strictement supérieur à 2 signifie que l'on est un peu au-dessus de 2, donc au dessus de 2 et quelque chose donc il existe toujours un réel \(\epsilon>0\) tel que l'on ait \(f(a)\geq\,2+\epsilon\) (c'est là que c'est délicat, imagine que l'on ait f(a)=2,05, alors on peut prendre \(\epsilon=0,05\) , si f(a)=2,00001, alors on a \(\epsilon=0,00001\)....)
Ensuite par croissance de f on a pour tout \(x\geq\,a\), \(f(x)\geq\,f(a)\) donc \(f(x)\geq\,2+\epsilon\) soit en passant à la limite, on aura \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\geq\,2+\epsilon\) ce qui contredit l'hypothèse de départ.
Est-ce clair ?
Pour raisonner par l'absurde il faut considérer comme vraie le contraire de ce que tu veux montrer et établir une contradiction.
Le contraire de " pour tout réel \(a\geq\,0,\, f(a)\leq2\)" est "il existe un réel \(a\geq\,0,\, f(a)>2\).
Etre strictement supérieur à 2 signifie que l'on est un peu au-dessus de 2, donc au dessus de 2 et quelque chose donc il existe toujours un réel \(\epsilon>0\) tel que l'on ait \(f(a)\geq\,2+\epsilon\) (c'est là que c'est délicat, imagine que l'on ait f(a)=2,05, alors on peut prendre \(\epsilon=0,05\) , si f(a)=2,00001, alors on a \(\epsilon=0,00001\)....)
Ensuite par croissance de f on a pour tout \(x\geq\,a\), \(f(x)\geq\,f(a)\) donc \(f(x)\geq\,2+\epsilon\) soit en passant à la limite, on aura \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\geq\,2+\epsilon\) ce qui contredit l'hypothèse de départ.
Est-ce clair ?