Suites et fonctions

[John (Terminale S)]

Bonjour,
Je voudrais vérifier qu'un des exercices que j'ai fait est bon...

L'énoncé
"On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par :
U0 = 0 et Un+1 = (3 Un + 1) / 4
Et d'autre part, V0 = 2 et Vn+1 = (3 Vn + 1) / 4


1. Calculer U1, U2, U3 d'une part V1, V2 et V3.
U1 = 1/4 V1 = 7/4
U2 = 7/16 V2 = 25/16
U3 = 37/64 V3 = 91/64


2. C'est sur un schéma


3. On considère la suite (Sn) définie pour tout n de IN, par Sn = Un + Vn
a. Calculer S0, S1, S2, S3. A partir de ces résultats, que peut-on conjecturer pour la suite (Sn) ?

S0 = U0 + V0 = 2
S1 = U1 + V1 = 2
S2 = U2 + V2 = 2
S3 = U3 + V3 = 2

On conjecture que la suite (Sn) est constante (en 2)


b. A l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrer ce résultat

Soit Pn : Sn+1 - Sn = 0 soit Sn+1 = Sn
Montrons que Pn est vraie pour tout n supérieur ou égal à 0.

Initialisation : Soit S1 - S0 = 2 - 2 = 0 (ou alors S1 = S0)
P0 est vraie.
Hérédité : Soit n supérieur ou égal à 0.
Supposons que Pn est vraie pour tout n, c'est-à-dire que Sn+1 - Sn = 0
Montrons que Pn+1 est vraie pour tout n, c'est-à-dire que Sn+2 -Sn+1 = 0

Par hypothèse de récurrence, on a Sn+1 - Sn = 0.

Sn+2 - Sn+1
= (3Un+1 +1)/4 + (3Vn+1 +1)/4 - (3Un +1)/4 - (3Vn +1)/4
= (3Un+1 + 3Vn+1 - 3Un - 3Vn) /4
= [3 (Un+1 + Vn+1) -3 (Un + Vn)] /4
= (3 Sn+1 - 3Sn) /4
= 3 (Sn+1 - Sn) / 4
= 0 (car Sn+1 - Sn = 0 d'après l'hypothèse de récurrence)

Pn est donc vraie.
Conclusion : Pour tout n supérieur ou égal à 0, Sn+1 - Sn = 0
C'est-à-dire que la suite (Sn) est constante.


4. On considère la suite (Tn) définie pour tout n appartenant à IN, par Tn = Vn - Un

a. Montrer que la suite (Tn) est géométrique.
==> Je vous épargne les calculs mais elle est de raison 3/4 si je ne me trompe pas.

b. Donner l'expression de Tn en fonction de n
Suite géométrique.
Tn = T0 * q^n
Tn = 2 * (3/4)^n (car T0 = U0 + V0 = 2)

c. Déduire des questions précédentes l'expression de Un et de Vn en fonction de n
Ici j'ai fait quelque chose dont je ne suis pas sûr...

Je sais que Tn = Vn - Un
Et aussi que Sn = Un + Vn

Ensuite j'ai fait un système disant que Sn + Tn = 2 Vn
On sait aussi que Sn est constante et vaut 2 pour tout n,

2Vn = Tn + 2
Vn = (Tn + 2) /2
Vn = (2* (3/4)^n +2) /2
Vn = (3/4)^n +1

Ensuite, on connaît Vn, et on utilise une des deux formules pour avoir Un.

Un = Vn - Tn
Un = (3/4)^n +1 -2 * (3/4)^n

d. Montrer que les suites (Un) et (Vn) convergent et préciser leurs limites.
La suite Vn c'est (3/4)^n +1

Or q ici = 3/4 compris entre -1 et 1 donc limite de (3/4)^n +1 = 1 (lorsque n tend vers +inf)
Vn converge donc vers 1.

Un = (3/4)^n +1 -2 * (3/4)^n
Un converge aussi donc vers 1.


Voilà j'aimerais bien avoir vos avis sur cet exercice !
En vous remerciant,

John !

[SoS-Math(11)]

Bonsoir John,

J'ai lu à peu près tout, cela me semble tout à fait correct.

Bon courage pour la suite

[John (Terminale S)]

Bonsoir,
Merci, en fait j'avais un peu peur pour ma récurrence car je pensais qu'il fallait démontrer qu'elle est constante à une valeur de 2 puis après je me suis dit qu'il fallait démontrer qu'elle était constante (je me demande si ça suffit néanmoins ?)