exercice récurrence à rendre pour demain

[Invité]

je n'arrive pas à faire la question 2 si quelqu'un peut m'aider ?

1 ) on cherche à calculer par un moyen simple la somme des n premiers nombres impairs
A ) calculer cette somme pour n=1 à n= 5 ?que peut on conjecturer ?
b ) exprimer en fonction de p le pième nombre impair
c ) démontrer la conjecture en utilisant un raisonnement par récurrence

2 ) soit x un nombre quelconque
a) démontrer par récurrence que quel que soit n supérieur à 1 on a
x^n-1 = (x-1) somme x^P

AVEC x^(P+1)-1 = x^(P+1)-x^P+x^P-1
B) en déduire une factorisation de a^n-b^n OU a et b sont des rééls
on pourra utiliser l'égalité du a avec a/ b =

je suis larguée mais voilà ce que j'ai fait

on va montrer par récurrence que la somme des n premiers entiers impairs est égale au carré de n
1+3+......+ (2n-1) = n^2

pour n=1 propriété vérifiée

pour rang 1+3+5+.......+ (2n-1)=n^2

l'entier impaire qui suit est 2n-1 est 2n+1 on a donc
1+3+......+(2n-1)(2n+1) = n^2 +2n+1 = (n+1)^2
la propriété est donc hérédiataire

[SoS-Math(7)]

Bonjour,
sur ce forum on aime que les personnes se présentent...

Vous avez bien commencer votre travail :

on va montrer par récurrence que la somme des n premiers entiers impairs est égale au carré de n
1+3+......+ (2n-1) = n^2
l'entier impaire qui suit est 2n-1 est 2n+1 on a donc
1+3+......+(2n-1)(2n+1) = n^2 +2n+1 = (n+1)^2
la propriété est donc hérédiataire

Vous avez donc démontré par récurrence que quelque soit \(n\geq1\), 1+3+...+(2n-1)=n^2

Pour la question 2) vous devez montrer que \(x^n-1=\sum_{p=0}^{n-1}x^p\) pour cela, après la vérification au rang 2, on regarde le rang (n+1).
\(x^{n+1}-1=x^{n+1}-x^n+x^n-1\) Pour réussir, il faut factoriser x^n dans les deux premiers termes de l'égalité et utiliser l'hypothèse de récurrence pour les deux derniers termes.

Bon travail

SOS Math

[Invité]

pardon pour la non présentation ,j'ai fait un copier coller de mon document et du coups le bonjour est passé à la trappe

je n'y arrive pas
au rang 2 on a bien (2)^1 -1 = 1 ?

et au rang p+1 on a x^n+1 -1 = X^n+1 - x^n +X^n -1
= x^n*x-x^n+X^n -1
= x^n ( x-1) +X^n -1
mais après je ne sais pas comment utiliser la récurrence
il faut montrer que x^n-1 = (x-1) somme x^P
merci

[SoS-Math(10)]

Bonsoir,
Le message de sos math(7) est très clair.
Lorsque l'on veut démontrer l'hérédité d'une récurrence, il faut utiliser ce qui se passe au rang p pour le démontrer au rang p+1.

Vous pouvez revoir la forme des récurrences de votre cours.

Bon courage
sos math